Übertragungsfunktion des Regelkreises
Eine Übertragungsfunktion stellt das Verhältnis zwischen dem Ausgangssignal eines Regelsystems und dem Eingangssignal für alle möglichen Eingangswerte dar. Ein Blockdiagramm ist eine Visualisierung des Regelsystems, die Blöcke verwendet, um die Übertragungsfunktion darzustellen, und Pfeile, die die verschiedenen Eingangs- und Ausgangssignale repräsentieren.
Für jedes Regelsystem gibt es eine Referenzeingabe, die als Anregung oder Ursache bezeichnet wird, die durch einen Übertragungsvorgang (d.h. die Übertragungsfunktion) wirkt, um einen Effekt zu erzeugen, der in einem gesteuerten Ausgang oder einer Reaktion resultiert.
Daher ist das Ursache-Wirkungs-Verhältnis zwischen Ausgang und Eingang über eine Übertragungsfunktion miteinander verbunden.
In der Laplace-Transformation, wenn der Eingang durch R(s) und der Ausgang durch C(s) dargestellt wird, dann lautet die Übertragungsfunktion:
Das bedeutet, dass die Übertragungsfunktion des Systems, multipliziert mit der Eingangsfunktion, die Ausgangsfunktion des Systems ergibt.
Was ist eine Übertragungsfunktion
Die Übertragungsfunktion eines Regelsystems wird definiert als das Verhältnis der Laplace-Transformation der Ausgangsgröße zur Laplace-Transformation der Eingangsgröße, wobei alle Anfangsbedingungen Null angenommen werden.
Das Verfahren zur Bestimmung der Übertragungsfunktion eines Regelsystems ist wie folgt:
Wir bilden die Gleichungen für das System.
Nun nehmen wir die Laplace-Transformation der Systemgleichungen unter der Annahme, dass die Anfangsbedingungen Null sind.
Wir spezifizieren den Systemausgang und -eingang.
Schließlich nehmen wir das Verhältnis der Laplace-Transformation des Ausgangs zur Laplace-Transformation des Eingangs, was die erforderliche Übertragungsfunktion ist.
Es ist nicht notwendig, dass Eingang und Ausgang eines Regelsystems derselben Kategorie angehören. Zum Beispiel ist bei elektrischen Motoren das Eingangssignal ein elektrisches Signal, während das Ausgangssignal ein mechanisches Signal ist, da elektrische Energie erforderlich ist, um die Motoren zu drehen. Ähnlich bei einem Elektrogenerator ist das Eingangssignal ein mechanisches Signal und das Ausgangssignal ein elektrisches Signal, da mechanische Energie erforderlich ist, um in einem Generator Strom zu erzeugen.
Für die mathematische Analyse eines Systems sollten jedoch alle Arten von Signalen in ähnlicher Form dargestellt werden. Dies geschieht, indem alle Arten von Signalen in ihre Laplace-Form transformiert werden. Auch die Übertragungsfunktion eines Systems wird in Laplace-Form dargestellt, indem die Ausgangslaplace-Transformierte durch die Eingangslaplace-Transformierte geteilt wird. Daher kann ein grundlegendes Blockdiagramm eines Regelsystems wie folgt dargestellt werden
Wobei r(t) und c(t) zeitabhängige Funktionen des Eingangs- und Ausgangssignals sind.
Methoden zur Gewinnung einer Übertragungsfunktion
Es gibt zwei Hauptmethoden, um eine Übertragungsfunktion für das Regelsystem zu erhalten. Diese Methoden sind:
Blockdiagrammmethode: Es ist nicht praktisch, eine vollständige Übertragungsfunktion für ein komplexes Regelungssystem abzuleiten. Daher wird die Übertragungsfunktion jedes Elements eines Regelungssystems durch ein Blockdiagramm dargestellt. Blockdiagrammreduktionstechniken werden angewendet, um die gewünschte Übertragungsfunktion zu erhalten.
Signalflussgraphen: Die modifizierte Form eines Blockdiagramms ist ein Signalflussgraph. Das Blockdiagramm bietet eine bildliche Darstellung eines Regelungssystems. Der Signalflussgraph verkürzt die Darstellung eines Regelungssystems weiter.
Pole und Nullstellen der Übertragungsfunktion
Im Allgemeinen kann eine Funktion in ihre Polynomform dargestellt werden. Zum Beispiel,
Ähnlich kann auch die Übertragungsfunktion eines Regelungssystems dargestellt werden als
Wobei K als Verstärkungsfaktor der Übertragungsfunktion bekannt ist.
Wenn nun in der obigen Funktion s = z1, oder s = z2, oder s = z3,….s = zn, wird der Wert der Übertragungsfunktion null. Diese z1, z2, z3,….zn, sind die Wurzeln des Zählerpolynoms. Da für diese Wurzeln das Zählerpolynom die Übertragungsfunktion null wird, werden diese Wurzeln als Nullstellen der Übertragungsfunktion bezeichnet.
Wenn nun s = p1, oder s = p2, oder s = p3,….s = pm, wird der Wert der Übertragungsfunktion unendlich. Somit werden die Wurzeln des Nenners als Pole der Funktion bezeichnet.
Lasst uns nun die Übertragungsfunktion in ihrer Polynomform neu schreiben.
Nehmen wir nun an, dass s gegen unendlich strebt, da die Wurzeln endliche Zahlen sind, können sie im Vergleich zum unendlichen s vernachlässigt werden. Daher
Wenn also s → ∞ und n > m, hat die Funktion ebenfalls einen Wert von unendlich, das bedeutet, die Übertragungsfunktion hat Pole bei unendlichem s, und die Vielfachheit oder Ordnung solcher Pole beträgt n – m.
Wenn wiederum s → ∞ und n < m, hat die Übertragungsfunktion einen Wert von null, das bedeutet, die Übertragungsfunktion hat Nullstellen bei unendlichem s, und die Vielfachheit oder Ordnung solcher Nullstellen beträgt m – n.
Konzept der Übertragungsfunktion
Die Übertragungsfunktion wird im Allgemeinen in der Laplace-Transformation ausgedrückt und ist nichts anderes als das Verhältnis zwischen Eingang und Ausgang eines Systems. Nehmen wir ein System, das aus einer Serie geschalteten Widerstand (R) und Induktivität (L) über eine Spannungsquelle (V) besteht.
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