Передаточна функція системи керування

Передаточна функція представляє зв'язок між вихідним сигналом системи керування та вхідним сигналом для всіх можливих значень вхідного сигналу. Блок-схема є візуалізацією системи керування, яка використовує блоки для представлення передаточної функції, а стрілки — для представлення різних вхідних та вихідних сигналів.

Для будь-якої системи керування існує референсний вхід, відомий як збудження або причина, який працює через передавальний процес (тобто передаточну функцію), щоб створити ефект, що призводить до контролованого виходу або відповіді.

Таким чином, зв'язок між причиною та наслідком між виходом та входом пов'язаний один з одним через передаточну функцію.

У перетворенні Лапласа, якщо вхід позначається R(s), а вихід — C(s), то передаточна функція буде:

Це означає, що передаточна функція системи, помножена на функцію входу, дає функцію виходу системи.

Що таке передаточна функція

Передаточна функція системи керування визначається як співвідношення перетворення Лапласа вихідної змінної до перетворення Лапласа вхідної змінної, при умові, що всі початкові умови дорівнюють нулю.

Процедура визначення передаточної функції системи керування така:

1. Ми формуємо рівняння для системи.

2. Тепер ми беремо перетворення Лапласа системних рівнянь, припускаючи, що початкові умови дорівнюють нулю.

3. Визначаємо вихід та вхід системи.

4. Нарешті, ми беремо співвідношення перетворення Лапласа вихідної величини до перетворення Лапласа вхідної величини, що є потрібною передаточною функцією.

Не обов'язково, щоб вихід та вхід системи керування були однієї категорії. Наприклад, у електродвигунів вхід є електричним сигналом, а вихід — механічним сигналом, оскільки електроенергія необхідна для обертання двигунів. Аналогічно, у електрогенераторі вхід є механічним сигналом, а вихід — електричним сигналом, оскільки механічна енергія необхідна для виробництва електроенергії в генераторі.

Але для математичного аналізу системи всі види сигналів повинні бути представлені подібним чином. Це робиться за допомогою перетворення всіх видів сигналів до їх форми Лапласа. Також передаточна функція системи представлена ​​формою Лапласа, ділячи вихідне перетворення Лапласа на вхідне перетворення Лапласа. Тому базова блок-схема системи керування може бути представлена ​​як


де r(t) та c(t) є функціями часового ряду вхідного та вихідного сигналів відповідно.

Методи отримання передаточної функції

Існує два основні способи отримання передаточної функції для системи керування. Способи такі:

• Метод блок-схем: Не зручно отримати повну передаточну функцію для складної системи керування. Тому передаточна функція кожного елемента системи керування представлена ​​блок-схемою. Застосовуються методи зменшення блок-схем, щоб отримати бажану передаточну функцію.

• Графіки сигналів: Модифікована форма блок-схеми — це графік сигналів. Блок-схема надає візуальну представлення системи керування. Графік сигналів ще більше скорочує представлення системи керування.

Полюси та нулі передаточної функції

Зазвичай функцію можна представити у вигляді полінома. Наприклад,

Тепер аналогічно передаточну функцію системи керування можна представити як

Де K відоме як коефіцієнт підсилення передаточної функції.

Тепер у вищенаведеній функції, якщо s = z1, або s = z2, або s = z3,…s = zn, значення передатової функції становить нуль. Ці z1, z2, z3,….zn, є коренями чисельника поліному. Оскільки для цих коренів чисельник, передаточна функція становить нуль, ці корені називаються нулями передатової функції.

Тепер, якщо s = p1, або s = p2, або s = p3,….s = pm, значення передатової функції становить нескінченість. Таким чином, корені знаменника називаються полюсами функції.

Тепер давайте перепишемо передатову функцію у її поліноміальному вигляді.

Тепер, давайте припустимо, що s наближається до нескінченності, оскільки корені є скінченними числами, їх можна проігнорувати порівняно з нескінченним s. Тому

Отже, коли s → ∞ і n > m, функція також матиме значення нескінченності, що означає, що передатова функція має полюси на нескінченному s, а їх порядок (або кратність) становить n – m.
Знову ж, коли s → ∞ і n < m, передатова функція матиме значення нуля, що означає, що передатова функція має нулі на нескінченному s, а їх порядок (або кратність) становить m – n.

Поняття передатово