פונקציית המעבר של מערכת הבקרה

פונקציית מעבר מייצגת את היחס בין אות החוזר של מערכת בקרה לאות הקלט, עבור כל ערכי קלט אפשריים. דיאגרמת בלוקים היא תצוגה של מערכת הבקרה המשתמשת בבלוקים לייצוג פונקציית ההעברה, וחיצים לייצוג אותות הקלט והפלט השונות.

לכל מערכת בקרה קיים קלט מתייחס המוכר כהשראה או גורם המפעיל דרך פעולה מעבר (כלומר, פונקציית ההעברה) כדי ליצור אפקט המוביל להפלט מבוקר או תגובה.

לכן הקשר הגורם והתוצאה בין הפלט והקלט קשור זה לזה דרך פונקציית מעבר.

ב-טרנספורמציה לפלאס, אם הקלט מיוצג על ידי R(s) והפלט מיוצג על ידי C(s), אז פונקציית ההעברה תהיה:

כלומר, פונקציית ההעברה של המערכת כפול פונקציית הקלט נותנת את פונקציית הפלט של המערכת.

מה היא פונקציית מעבר

פונקציית ההעברה של מערכת בקרה מוגדרת כיחס בין טרנספורמציית לפלאס של משתנה הפלט לטרנספורמציית לפלאס של משתנה הקלט בהנחה שכל התנאים ההתחלתיים הם אפס.

ההליך לקביעת פונקציית ההעברה של מערכת בקרה הוא כדלקמן:

1. אנו מגדירים את המשוואות עבור המערכת.

2. עכשיו אנו לוקחים את טרנספורמציית לפלאס של משוואות המערכת, בהנחה שהתנאים ההתחלתיים הם אפס.

3. מגדירים את פלט המערכת ואת קלט המערכת.

4. לבסוף אנחנו לוקחים את היחס בין טרנספורמציית לפלאס של הפלט לבין טרנספורמציית לפלאס של הקלט, מה שהוא הפונקציה המועברת הנדרשת.

לא חייב שפלט וקלט של מערכת בקרה יהיו מאותה קטגוריה. למשל, במנועים חשמליים הקלט הוא אות חשמלי בעוד שהפלט הוא אות מכני כי אנרגיה חשמלית נדרשת לסיבוב המנועים. באופן דומה בגנרטורים חשמליים, הקלט הוא אות מכני והפלט הוא אות חשמלי, מאחר ואנרגיה מכנית נדרשת להפיק חשמל בגנרטור.

אבל לנתח מתמטי של מערכת, כל סוגי האותות צריכים להיות מיוצגים בצורה דומה. זה נעשה על ידי העברת כל סוגי האותות לצורת לפלאס שלהם. גם פונקציית ההעברה של המערכת מיוצגת בצורה לפלאס על ידי חלוקת פונקציית ההעברה של הפלט לפונקציית ההעברה של הקלט. לכן, דיאגרמת בלוק בסיסית של מערכת בקרה יכולה להיות מיוצגת כך


כאשר r(t) ו-c(t) הם פונקציות זמן של אות הקלט והפלט בהתאמה.

דרכים לקבל פונקציית מעבר

ישנן שתי דרכים עיקריות לקבל פונקציית מעבר למערכת הבקרה. הדרכים הן:

• שיטת דיאגרמת הבלוקים: זה לא נוח להפיק פונקציית מעבר מלאה למערכת בקרה מורכבת. לכן, פונקציית ההעברה של כל אלמנט במערכת הבקרה מיוצגת באמצעות דיאגרמת בלוקים. טכניקות רדוקציה של דיאגרמות בלוקים מופעלות כדי לקבל את פונקציית ההעברה הנדרשת.

• דיאגרמות זרימת אות: הגרסה המעודכנת של דיאגרמת בלוקים היא דיאגרמת זרימת אות. דיאגרמת בלוק מספקת הצגה גרפית של מערכת הבקרה. דיאגרמת זרימת אות מקצרת את ההצגה של מערכת הבקרה.

קטבים ונקודות אפס של פונקציית מעבר

בדרך כלל, ניתן לייצג פונקציה בצורה פולינומית. למשל,

וכך גם פונקציית ההעברה של מערכת בקרה יכולה להיות מיוצגת בצורה זו

כאשר K ידוע כגורם ההגבר של פונקציית ההעברה.

כעת, בפונקציה הנ"ל, אם s = z1, או s = z2, או s = z3,….s = zn, ערך פונקציית ההעברה נהיה אפס. אלו z1, z2, z3,….zn, הם שורשים של הפולינום המונה. מאחר ולשורשים אלה הפולינום המונה, פונקציית ההעברה נהיה אפס, השורשים האלה נקראים נקודות אפס של פונקציית ההעברה.

כעת, אם s = p1, או s = p2, או s = p3,….s = pm, ערך פונקציית ההעברה נהיה אינסופי. לפיכך, השורשים של המכנה נקראים הקטבים של הפונקציה.

כעת בואו נכתוב מחדש את פונקציית ההעברה בצורה פולינומית שלה.

כעת, בואו נניח ש-s מתקרב לאינסוף מאחר והשורשים הם מספרים סופיים, הם יכולים להתעלם ביחס לאינסוף s. לכן

לכן, כאשר s → ∞ ו-n > m, הפונקציה תקבל גם ערך של אינסוף, כלומר לפונקציית ההעברה יש קטבים באינסוף s, והכפליות או הסדר של קטבים כאלה הוא n – m.
שוב, כאשר s → ∞ ו-n < m, פונקציית ההעברה תקבל ערך של אפס, כלומר לפונקציית ההעברה יש נקודות אפס באינסוף s, והכפליות או הסדר של נקודות אפס כאלה הוא m – n.

מושג פונקציית מעבר

פונקציית ההעברה בדרך כלל מנוסחת בטרנספורמציה לפלאס והיא פשוט היחס בין הקלט והפלט של מערכת. בואו נתבונן במערכת המורכבת מחיבור סדרתי של נגד (R) ו-סליל (L) מעל מקור מתח (V).