Funkcija prenosa sustava upravljanja

Transferna funkcija predstavlja odnos između izlaznog signala sustava upravljanja i ulaznog signala, za sve moguće vrijednosti ulaza. Blok dijagram je vizualizacija sustava upravljanja koja koristi blokove za prikaz transfere funkcije, a strelice predstavljaju različite ulazne i izlazne signale.

Za bilo koji sustav upravljanja, postoji referentni ulaz poznat kao pobudba ili uzrok koji djeluje kroz operaciju prenosa (tj. transfernu funkciju) kako bi stvorio učinak rezultirajući kontroliranim izlazom ili odzivom.

Stoga je odnos uzroka i posljedice između izlaza i ulaza povezan jedan s drugim putem transfere funkcije.

U Laplaceovoj transformaciji, ako je ulaz predstavljen sa R(s), a izlaz sa C(s), tada će transferna funkcija biti:

To znači da množenje transfere funkcije sustava s funkcijom ulaza daje funkciju izlaza sustava.

Što je transferna funkcija

Transferna funkcija sustava upravljanja definira se kao omjer Laplaceove transformacije izlazne varijable i Laplaceove transformacije ulazne varijable, pretpostavljajući da su sve početne uvjete nula.

Postupak određivanja transfere funkcije sustava upravljanja sljedeći je:

1. Formiramo jednadžbe za sustav.

2. Sada preuzimamo Laplaceovu transformaciju sustavnih jednadžbi, pretpostavljajući da su početni uvjeti nula.

3. Određujemo izlaz i ulaz sustava.

4. Na kraju preuzimamo omjer Laplaceove transformacije izlaza i Laplaceove transformacije ulaza, što je tražena transferna funkcija.

Nije nužno da izlaz i ulaz sustava upravljanja budu iste kategorije. Na primjer, u električnim motorima ulaz je električki signal, dok je izlaz mehanički signal, jer je potrebna električna energija za rotiranje motora. Slično tome, u električnom generatoru, ulaz je mehanički signal, a izlaz električki signal, jer je potrebna mehanička energija za proizvodnju struje u generatoru.

Ali za matematičku analizu sustava, sve vrste signala trebaju biti predstavljene na sličan način. To se radi pretvaranjem svih vrsta signala u njihov Laplaceov oblik. Također se transferna funkcija sustava predstavlja u Laplaceovom obliku dijeljenjem Laplaceove transfere funkcije izlaza s Laplaceovom transfere funkcijom ulaza. Stoga se osnovni blok dijagram sustava upravljanja može predstaviti kao


gdje su r(t) i c(t) vremenske funkcije ulaznog i izlaznog signala, redom.

Metode dobivanja transfere funkcije

Postoje dvije glavne metode dobivanja transfere funkcije za sustav upravljanja. Te metode su:

• Metoda blok dijagrama: Nije praktično izvesti kompletnu transfernu funkciju za složeni sustav upravljanja. Stoga se transferna funkcija svakog elementa sustava upravljanja predstavlja blok dijagramom. Primjenjuju se tehnike redukcije blok dijagrama kako bi se dobila željena transferna funkcija.

• Grafovi signala: Modificirana forma blok dijagrama je grafovi signala. Blok dijagram daje vizualnu reprezentaciju sustava upravljanja. Grafovi signala dodatno skraćuju reprezentaciju sustava upravljanja.

Poli i nule transfere funkcije

Općenito, funkcija se može predstaviti u polinomskom obliku. Na primjer,

Sada slično, transferna funkcija sustava upravljanja također se može predstaviti kao

gdje je K poznat kao faktor dobiti transfere funkcije.

Sada u gornjoj funkciji, ako je s = z1, ili s = z2, ili s = z3,….s = zn, vrijednost transfere funkcije postaje nula. Ove z1, z2, z3,….zn, su korijeni polinoma brojnika. Budući da za ove korijene polinom brojnika, transferna funkcija postaje nula, ti korijeni se nazivaju nulama transfere funkcije.

Sada, ako je s = p1, ili s = p2, ili s = p3,….s = pm, vrijednost transfere funkcije postaje beskonačna. Stoga se korijeni nazivnika zovu polovi funkcije.

Sada ponovimo napisanje transfere funkcije u njenom polinomskom obliku.

Sada, pretpostavimo da s teži beskonačnosti, budući da su svi korijeni konačni brojevi, oni se mogu zanemariti u usporedbi s beskonačnim s. Stoga

Stoga, kada s → ∞ i n > m, funkcija će imati i vrijednost beskonačnosti, to znači da transfere funkcija ima pole na beskonačnom s, a višestrukost ili red takvog pola je n – m.
Opet, kada s → ∞ i n < m, transfere funkcija će imati vrijednost nule, to znači da transfere funkcija ima nule na beskonačnom s, a višestrukost ili red takvih nula je m – n.

Koncept transfere funkcije

Transferna funkcija općenito se izražava Laplaceovom transformacijom i ona je ništa drugo nego odnos između ulaza i izlaza sustava. Pretpostavimo sustav sastavljen od serije spojenih otpor (R) i indukcija (L) preko naponskog izvora (V).