Funkcja przekształcenia systemu sterowania

Funkcja przekazująca reprezentuje relację między sygnałem wyjściowym systemu sterowania a sygnałem wejściowym dla wszystkich możliwych wartości wejściowych. Diagram blokowy to wizualizacja systemu sterowania, która używa bloków do przedstawienia funkcji przekazującej, a strzałki reprezentują różne sygnały wejściowe i wyjściowe.

Dla każdego systemu sterowania istnieje odniesienie wejściowe znane jako pobudzenie lub przyczyna, które działa poprzez operację przekazywania (tj. funkcję przekazującą) aby wytworzyć efekt wynikający w kontrolowanym wyjściu lub odpowiedzi.

Zatem relacja przyczynowo-skutkowa między wyjściem a wejściem jest związana ze sobą przez funkcję przekazującą.

W transformaty Laplace'a, jeśli wejście jest reprezentowane przez R(s), a wyjście przez C(s), to funkcja przekazująca będzie:

To oznacza, że funkcja przekazująca systemu pomnożona przez funkcję wejściową daje funkcję wyjściową systemu.

Co to jest funkcja przekazująca

Funkcja przekazująca systemu sterowania jest zdefiniowana jako stosunek transformaty Laplace'a zmiennej wyjściowej do transformaty Laplace'a zmiennej wejściowej przy założeniu, że wszystkie warunki początkowe są równe zero.

Procedura określania funkcji przekazującej systemu sterowania wygląda następująco:

1. Tworzymy równania dla systemu.

2. Następnie bierzemy transformatę Laplace'a równań systemu, zakładając, że warunki początkowe są równe zero.

3. Określamy wyjście i wejście systemu.

4. Na końcu bierzemy stosunek transformaty Laplace'a wyjścia do transformaty Laplace'a wejścia, co jest wymaganą funkcją przekazującą.

Nie jest konieczne, aby wyjście i wejście systemu sterowania były tej samej kategorii. Na przykład, w silnikach elektrycznych wejściem jest sygnał elektryczny, podczas gdy wyjściem jest sygnał mechaniczny, ponieważ energia elektryczna jest potrzebna do obracania silników. Podobnie w generatorze elektrycznym, wejściem jest sygnał mechaniczny, a wyjściem sygnał elektryczny, ponieważ energia mechaniczna jest potrzebna do produkcji prądu w generatory.

Ale dla matematycznego analizy systemu, wszystkie rodzaje sygnałów powinny być reprezentowane w podobnej formie. To jest robione przez transformowanie wszystkich rodzajów sygnałów do ich formy Laplace'a. Ponadto funkcja przekazująca systemu jest reprezentowana w formie Laplace'a przez podzielenie transformaty Laplace'a wyjścia przez transformatę Laplace'a wejścia. Stąd podstawowy diagram blokowy systemu sterowania może być przedstawiony jako


Gdzie r(t) i c(t) są funkcjami dziedziny czasowej sygnału wejściowego i wyjściowego odpowiednio.

Sposoby uzyskiwania funkcji przekazującej

Istnieją dwa główne sposoby uzyskania funkcji przekazującej dla systemu sterowania. Sposoby te to:

• Metoda diagramu blokowego: Nie jest wygodne, aby wyprowadzać pełną funkcję przekazującą dla skomplikowanego systemu sterowania. Dlatego funkcja przekazująca każdego elementu systemu sterowania jest reprezentowana przez diagram blokowy. Techniki redukcji diagramu blokowego są stosowane, aby uzyskać pożądaną funkcję przekazującą.

• Wykresy przepływu sygnałów: Modyfikowana forma diagramu blokowego to wykres przepływu sygnałów. Diagram blokowy daje graficzną reprezentację systemu sterowania. Wykres przepływu sygnałów dalej skraca reprezentację systemu sterowania.

Pola i zera funkcji przekazującej

Ogólnie rzecz biorąc, funkcja może być reprezentowana w postaci wielomianowej. Na przykład,

Podobnie funkcja przekazująca systemu sterowania może być również reprezentowana jako

Gdzie K jest znanym współczynnikiem wzmocnienia funkcji przekazującej.

Teraz w powyższej funkcji, jeśli s = z1, lub s = z2, lub s = z3,….s = zn, wartość funkcji przekazującej staje się równa zero. Te z1, z2, z3,….zn, są pierwiastkami wielomianu licznika. Ponieważ dla tych pierwiastków wielomian licznika, funkcja przekazująca staje się równa zero, nazywają się one zerami funkcji przekazującej.

Teraz, jeśli s = p1, lub s = p2, lub s = p3,….s = pm, wartość funkcji przekazującej staje się nieskończona. Zatem pierwiastki mianownika nazywają się biegunami funkcji.

Przepiszmy teraz funkcję przekazującą w jej postaci wielomianowej.

Teraz, niech s dąży do nieskończoności, ponieważ pierwiastki są liczbami skończonymi, mogą one być zignorowane w porównaniu z nieskończonym s. Dlatego

Stąd, gdy s → ∞ i n > m, funkcja będzie miała również wartość nieskończoną, co oznacza, że funkcja przekazująca ma bieguny w nieskończonym s, a wielokrotność lub rząd takiego bieguna wynosi n – m.
Znowu, gdy s → ∞ i n < m, funkcja przekazująca będzie miała wartość zero, co oznacza, że funkcja przekazująca ma zera w nieskończonym s, a wielokrotność lub rząd takich zer wynosi m – n.

Koncepcja funkcji przekazującej

Funkcja przekazująca jest ogólnie wyrażana w transformaty Laplace'a i jest niczym innym jak relacją między wejściem i wyjściem systemu. Rozważmy system składający się z szeregowo połączonych oporu (R) i indukcyjności (L) napędzanych przez źródło napięcia (V).