Överföringsfunktion för styrsystem
En överföringsfunktion representerar förhållandet mellan utgångssignalen i ett reglersystem och ingångssignalen, för alla möjliga ingångsvärden. Ett blockdiagram är en visualisering av reglersystemet som använder block för att representera överföringsfunktionen, och pilar som representerar de olika ingångs- och utgångssignalerna.
För varje reglersystem finns det en referensingång känd som upphetsning eller orsak som fungerar genom en överföringsoperation (dvs. överföringsfunktionen) för att producera en effekt som resulterar i en kontrollerad utgång eller svar.
Således är förhållandet mellan orsak och effekt mellan utgången och ingången relaterade till varandra genom en överföringsfunktion.
I en Laplace-transform, om ingången representeras av R(s) och utgången representeras av C(s), så kommer överföringsfunktionen att vara:
Det vill säga, systemets överföringsfunktion multiplicerad med indatafunktionen ger systemets utdatafunktion.
Vad är en överföringsfunktion
Överföringsfunktionen för ett reglersystem definieras som kvoten mellan Laplace-transformen av utgångsvariabeln till Laplace-transformen av ingångsvariabeln, antagande att alla initiala villkor är noll.
Procedur för att fastställa överföringsfunktionen för ett reglersystem är följande:
Vi formulerar ekvationerna för systemet.
Nu tar vi Laplace-transformen av systemekvationerna, antagande att initiala villkor är noll.
Specificera systemets ut- och ingång.
Till sist tar vi kvoten mellan Laplace-transformen av utgången och Laplace-transformen av ingången, vilket är den önskade överföringsfunktionen.
Det är inte nödvändigt att ut- och ingång för ett reglersystem tillhör samma kategori. Till exempel, i elektriska motorer är ingången elektrisk signal medan utgången är mekanisk signal eftersom elektrisk energi krävs för att rotera motorerna. På liknande sätt i en elektrisk generator är ingången mekanisk signal och utgången elektrisk signal, eftersom mekanisk energi krävs för att producera el i en generator.
Men för matematisk analys av ett system bör alla typer av signaler representeras på liknande sätt. Detta görs genom att transformera alla typer av signaler till deras Laplace-form. Även överföringsfunktionen för ett system representeras i Laplace-form genom att dela utgångens Laplace-transform med ingångens Laplace-transform. Därför kan ett grundläggande blockdiagram för ett reglersystem representeras som
Där r(t) och c(t) är tidsdomänfunktioner för in- och utgångssignalen, respektive.
Metoder för att erhålla en överföringsfunktion
Det finns två huvudsakliga sätt att erhålla en överföringsfunktion för ett reglersystem. Sätten är:
Blockdiagrammetod: Det är inte bekvämt att härleda en fullständig överföringsfunktion för ett komplext reglersystem. Därför representeras överföringsfunktionen för varje element i ett reglersystem av ett blockdiagram. Blockdiagramreduktionstekniker tillämpas för att erhålla den önskade överföringsfunktionen.
Signalflödessgrafer: Den modifierade formen av ett blockdiagram är en signalflödessgraf. Blockdiagrammet ger en bildlig representation av ett reglersystem. Signalflödessgrafen förkortar ytterligare representationen av ett reglersystem.
Poler och nollställen för överföringsfunktion
Generellt sett kan en funktion representeras i sin polynomform. Till exempel,
På liknande sätt kan överföringsfunktionen för ett reglersystem också representeras som
Där K kallas för förstärkningsfaktorn för överföringsfunktionen.
Nu i ovanstående funktion, om s = z1, eller s = z2, eller s = z3,….s = zn, blir värdet av överföringsfunktionen noll. Dessa z1, z2, z3,….zn, är rötterna till täljarpolynomet. Eftersom dessa rötter gör att täljarpolynomet, och därmed överföringsfunktionen, blir noll, kallas dessa rötter för nollställen för överföringsfunktionen.
Nu, om s = p1, eller s = p2, eller s = p3,….s = pm, blir värdet av överföringsfunktionen oändligt. Således kallas rötterna till nämnaren för poler för funktionen.
Låt oss nu skriva om överföringsfunktionen i dess polynomform.
Nu, låt oss anta att s närmar sig oändligheten eftersom rötterna är ändliga tal, kan de ignoreras jämfört med den oändliga s. Därför
Således, när s → ∞ och n > m, kommer funktionen att ha ett värde av oändlighet, vilket betyder att överföringsfunktionen har poler vid oändlig s, och multipliciteten eller ordningen av sådana poler är n – m.
Igen, när s → ∞ och n < m, kommer överföringsfunktionen att ha ett värde av noll, vilket betyder att överföringsfunktionen har nollställen vid oändlig s, och multipliciteten eller ordningen av sådana nollställen är m – n.
Konceptet om överföringsfunktion
Överföringsfunktionen uttrycks vanligtvis i Laplace-transform och det är inget annat än relationen mellan in- och utgång av ett system. Låt oss anta ett system består av en seriekopplad motstånd (R) och induktans (L) över en
