Преходна функция на системата за управление

Преходната функция представлява връзката между изходния сигнал на управляващата система и входния сигнал за всички възможни входни стойности. Блоковата диаграма е визуализация на управляващата система, която използва блокове, за да представи преходната функция, и стрели, които представляват различните входни и изходни сигнали.

За всяка управляваща система съществува референтен вход, известен като възбуждане или причина, който действа чрез преходна операция (т.е. преходна функция) за да произведе ефект, резултиращ в контролиран изход или отговор.

Така връзката между причината и ефекта на изхода и входа се свързва помежду си чрез преходна функция.

В преобразуването на Лаплас, ако входът е представен от R(s), а изходът - от C(s), то преходната функция ще бъде:

Това означава, че преходната функция на системата, умножена по входната функция, дава изходната функция на системата.

Какво е преходна функция

Преходната функция на управляващата система се дефинира като отношението на преобразуването на Лаплас на изходната променлива към преобразуването на Лаплас на входната променлива, при условие, че всички начални условия са нула.

Процедурата за определяне на преходната функция на управляващата система е следната:

1. Формираме уравненията за системата.

2. Сега взимаме преобразуването на Лаплас на уравненията на системата, като приемаме, че началните условия са нула.

3. Определяме изход и вход на системата.

4. Накрая взимаме отношението на преобразуването на Лаплас на изхода и преобразуването на Лаплас на входа, което е необходимата преходна функция.

Не е необходимо изходът и входът на управляващата система да са от една и съща категория. Например, при електрическите мотори входът е електрически сигнал, докато изходът е механичен сигнал, тъй като електрическата енергия е необходима за завъртане на моторите. Аналогично при електрически генератор, входът е механичен сигнал, а изходът е електрически сигнал, тъй като механичната енергия е необходима за производството на електричество в генератора.

Но за математически анализ на система, всички видове сигнали трябва да бъдат представени в подобна форма. Това се прави, като всички видове сигнали се преобразуват в техните форми на Лаплас. Също така преходната функция на системата се представя във формата на Лаплас, като се раздели изходната преходна функция на входната преходна функция. Затова основната блокова диаграма на управляващата система може да бъде представена като


Където r(t) и c(t) са функции на времето за входния и изходния сигнал съответно.

Методи за получаване на преходна функция

Има два основни начина за получаване на преходна функция за управляващата система. Начините са:

• Метод на блоковата диаграма: Не е удобно да се изведе пълна преходна функция за сложна управляваща система. Затова преходната функция на всеки елемент на управляващата система се представя чрез блокова диаграма. Прилагат се техники за намаляване на блоковата диаграма, за да се получи желаната преходна функция.

• Графики на сигнален поток: Модифицираната форма на блоковата диаграма е график на сигнален поток. Блоковата диаграма дава графично представяне на управляващата система. Графикът на сигнален поток допълнително намалява представянето на управляващата система.

Полюси и нули на преходната функция

Обикновено функцията може да бъде представена в полиномна форма. Например,

Сега аналогично преходната функция на управляващата система също може да бъде представена като

Където K е известен като фактор на усилие на преходната функция.

Сега в горната функция, ако s = z1, или s = z2, или s = z3,….s = zn, стойността на преходната функция става нула. Тези z1, z2, z3,….zn, са корени на числителя полином. Тъй като за тези корени числителят полином, преходната функция става нула, тези корени се наричат нули на преходната функция.

Сега, ако s = p1, или s = p2, или s = p3,….s = pm, стойността на преходната функция става безкрайна. Така корените на знаменателя се наричат полюси на функцията.

Сега нека препишем преходната функция в полиномна форма.

Сега, нека предположим, че s клони към безкрайност, тъй като корените са всички крайни числа, те могат да бъдат игнорирани в сравнение с безкрайното s. Следователно

Следователно, когато s → ∞ и n > m, функцията ще има стойност безкрайност, т.е. преходната функция има полюси при безкрайно s, и множествеността или редът на такъв полюс е n – m.
Отново, когато s → ∞ и n < m, преходната функция ще има стойност нула, т.е. преходната функция има нули при безкрайно s, и множествеността или редът на такива нули е m – n.

Концепция на преходната функция