Funció de transferència del sistema de control
Una funció de transferència representa la relació entre la senyal de sortida d'un sistema de control i la senyal d'entrada, per a tots els valors possibles d'entrada. Un diagrama de blocs és una visualització del sistema de control que utilitza blocs per representar la funció de transferència, i fletxes que representen les diferents senyals d'entrada i sortida.
Per a qualsevol sistema de control, existeix una entrada de referència coneguda com a excitació o causa que opera a través d'una operació de transferència (és a dir, la funció de transferència) per produir un efecte resultant en una sortida controlada o resposta.
Així, la relació de causa i efecte entre la sortida i l'entrada està relacionada a través d'una funció de transferència.
En una Transformada de Laplace, si l'entrada es representa per R(s) i la sortida es representa per C(s), llavors la funció de transferència serà:
És a dir, la funció de transferència del sistema multiplicada per la funció d'entrada dóna la funció de sortida del sistema.
Què és una funció de transferència
La funció de transferència d'un sistema de control es defineix com el quocient de la transformada de Laplace de la variable de sortida a la transformada de Laplace de la variable d'entrada assumint totes les condicions inicials iguals a zero.
El procediment per determinar la funció de transferència d'un sistema de control és el següent:
Formem les equacions pel sistema.
Ara prenem la transformada de Laplace de les equacions del sistema, assumint les condicions inicials iguals a zero.
Especifiquem la sortida i l'entrada del sistema.
Finalment, prenem el quocient de la transformada de Laplace de la sortida i la transformada de Laplace de l'entrada, que és la funció de transferència necessària.
No és necessari que la sortida i l'entrada d'un sistema de control siguin de la mateixa categoria. Per exemple, en motores elèctrics, la entrada és una senyal elèctrica mentre que la sortida és una senyal mecànica ja que s'ha d'utilitzar energia elèctrica per fer girar els motors. De manera similar, en un generador elèctric, la entrada és una senyal mecànica i la sortida és una senyal elèctrica, ja que s'ha d'utilitzar energia mecànica per produir electricitat en un generador.
Però per a l'anàlisi matemàtica d'un sistema, tots els tipus de senyals haurien de representar-se en una forma similar. Això es fa transformant tots els tipus de senyals a la seva forma de Laplace. També la funció de transferència d'un sistema es representa en la forma de Laplace dividint la funció de transformada de Laplace de la sortida per la funció de transformada de Laplace de l'entrada. Per tant, un diagrama de blocs bàsic d'un sistema de control es pot representar com
On r(t) i c(t) són les funcions de temps de l'entrada i la sortida, respectivament.
Mètodes per obtenir una funció de transferència
Hi ha dos mètodes principals per obtenir una funció de transferència per al sistema de control. Els mètodes són:
Mètode del Diagrama de Blocs: No és convenient derivar una funció de transferència completa per a un sistema de control complex. Per tant, la funció de transferència de cada element d'un sistema de control es representa mitjançant un diagrama de blocs. Es fan servir tècniques de reducció de diagrames de blocs per obtenir la funció de transferència desitjada.
Grafs de Flux de Senyal: La forma modificada d'un diagrama de blocs és un graf de flux de senyal. El diagrama de blocs proporciona una representació pictòrica d'un sistema de control. El graf de flux de senyal encara afegeix més brevetat a la representació d'un sistema de control.
Pols i zeros de la funció de transferència
Generalment, una funció es pot representar en la seva forma polinòmica. Per exemple,
Ara, de manera similar, la funció de transferència d'un sistema de control també es pot representar com
On K és conegut com el factor de guany de la funció de transferència.
Ara, en la funció anterior, si s = z1, o s = z2, o s = z3,….s = zn, el valor de la funció de transferència es converteix en zero. Aquests z1, z2, z3,….zn, són arrels del polinomi numerador. Com que per a aquestes arrels el polinomi numerador, la funció de transferència es converteix en zero, aquestes arrels es diuen zeros de la funció de transferència.
Ara, si s = p1, o s = p2, o s = p3,….s = pm, el valor de la funció de transferència es converteix en infinit. Així, les arrels del denominador es diuen els pols de la funció.
Ara, reescrivim la funció de transferència en la seva forma polinòmica.
Ara, considerem que s s'aproxima a infinit, ja que les arrels són tots nombres finits, es poden ignorar en comparació amb l's infinit. Per tant
Per tant, quan s → ∞ i n > m, la funció tindrà també un valor d'infinit, això significa que la funció de transferència té pols a s infinit, i la multiplicitat o ordre d'aquest pol és n – m.
També, quan s → ∞ i n < m, la funció de transferència tindrà un valor de zero, això significa que la funció de transferència té zeros a s infinit, i la multiplicitat o ordre d'aquests zeros és m – n.
Concepte de la funció de transferència
La funció de transferència generalment es expressa en la Transformada de Laplace i no és res més que la relació entre l'entrada i la sortida d'un sistema. Considerem un sistema que consta d'una resistència (R) i una indutància (L) connectades en sèrie a través d'una font de tensió (V).
