제어 시스템의 전달 함수
'전달 함수'는 제어 시스템의 출력 신호와 입력 신호 간의 관계를 모든 가능한 입력 값에 대해 나타냅니다. 블록 다이어그램은 전달 함수를 나타내는 블록과 다양한 입력 및 출력 신호를 나타내는 화살표를 사용하여 제어 시스템을 시각화한 것입니다.
어떤 제어 시스템에서도 참조 입력으로 알려진 자극 또는 원인이 있으며, 이는 전달 작업(즉, 전달 함수)을 통해 효과를 생성하여 제어된 출력 또는 응답을 생성합니다.
따라서 출력과 입력 사이의 원인과 결과의 관계는 '전달 함수'를 통해 서로 관련됩니다.
라플라스 변환에서 입력이 R(s)로, 출력이 C(s)로 표현되면 전달 함수는 다음과 같습니다:
즉, 시스템의 전달 함수를 입력 함수에 곱하면 시스템의 출력 함수가 됩니다.
전달 함수란?
제어 시스템의 전달 함수는 초기 조건을 모두 0으로 가정하고 출력 변수의 라플라스 변환과 입력 변수의 라플라스 변환의 비율로 정의됩니다.
제어 시스템의 전달 함수를 결정하는 절차는 다음과 같습니다:
시스템에 대한 방정식을 작성합니다.
시스템 방정식의 라플라스 변환을 취하며, 초기 조건을 0으로 가정합니다.
시스템의 출력과 입력을 지정합니다.
마지막으로 출력의 라플라스 변환과 입력의 라플라스 변환의 비율을 취하면 필요한 전달 함수가 됩니다.
제어 시스템의 출력과 입력이 같은 범주일 필요는 없습니다. 예를 들어, 전기 모터의 경우 입력은 전기 신호이고 출력은 기계 신호입니다. 전기 에너지가 모터를 회전시키기 때문입니다. 마찬가지로 발전기에서는 입력이 기계 신호이고 출력이 전기 신호입니다. 기계 에너지가 발전기에 전기를 생산하기 때문입니다.
하지만 시스템의 수학적 분석을 위해 모든 종류의 신호는 유사한 형태로 표시되어야 합니다. 이를 위해 모든 종류의 신호를 라플라스 형식으로 변환합니다. 또한 시스템의 전달 함수는 출력 라플라스 전달 함수를 입력 라플라스 전달 함수로 나누어 라플라스 형식으로 표현됩니다. 따라서 제어 시스템의 기본 블록 다이어그램은 다음과 같이 표현될 수 있습니다
여기서 r(t)와 c(t)는 각각 입력 및 출력 신호의 시간 영역 함수입니다.
전달 함수 얻기 방법
제어 시스템의 전달 함수를 얻는 주요 방법은 두 가지입니다. 방법은 다음과 같습니다:
블록 다이어그램 방법: 복잡한 제어 시스템의 완전한 전달 함수를 파생하는 것은 편리하지 않습니다. 따라서 제어 시스템의 각 요소의 전달 함수는 블록 다이어그램으로 표현됩니다. 블록 다이어그램 축소 기법을 적용하여 원하는 전달 함수를 얻습니다.
신호 흐름 그래프: 블록 다이어그램의 수정된 형태는 신호 흐름 그래프입니다. 블록 다이어그램은 제어 시스템의 그림적 표현입니다. 신호 흐름 그래프는 제어 시스템의 표현을 더욱 단축합니다.
전달 함수의 극점과 영점
일반적으로 함수는 다항식 형태로 표현될 수 있습니다. 예를 들어,
비슷하게 제어 시스템의 전달 함수도 다음과 같이 표현할 수 있습니다:
여기서 K는 전달 함수의 이득 인자로 알려져 있습니다.
위 함수에서 s = z1, 또는 s = z2, 또는 s = z3,….s = zn일 때, 전달 함수의 값이 0이 됩니다. 이러한 z1, z2, z3,….zn은 분자 다항식의 근입니다. 이러한 근들에서 분자 다항식의 전달 함수가 0이 되므로, 이러한 근들은 전달 함수의 영점이라고 부릅니다.
다음으로, s = p1, 또는 s = p2, 또는 s = p3,….s = pm일 때, 전달 함수의 값이 무한대가 됩니다. 따라서 분모의 근들은 함수의 극점이라고 부릅니다.
이제 전달 함수를 다항식 형태로 다시 써보겠습니다.
이제, s가 무한대로 접근할 때, 근들이 모두 유한수이므로 무한한 s에 비해 무시할 수 있습니다. 따라서
따라서, s → ∞이고 n > m일 때, 함수의 값도 무한대로 가며, 이는 전달 함수가 무한한 s에서 극점을 가지고 있으며, 이러한 극점의 중복성 또는 차수는 n – m입니다. 또한, s → ∞이고 n < m일 때, 전달 함수의 값은 0이 되며, 이는 전달 함수가 무한한 s에서 영점을 가지고 있으며, 이러한 영점의 중복성 또는 차수는 m – n입니다.
전달 함수의 개념
전달 함수는 일반적으로 라플라스 변환으로 표현되며, 시스템의 입력과 출력 간의 관계를 나타냅니다. 저항(R)과 인덕턴스(L)가 직렬로 연결되고 전압 소스(V)를 가진 시스템을 고려해 보겠습니다.
이 회로에서 전류 'i'는 적용된 전압(V)에 의해 발생하는 반응입니다. 따라서 회로의 전압과 전류는 각각 시스템의 입력과 출력으로 간주할 수 있습니다.
회로로부터 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다:
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