Передаточная функция системы управления

Передаточная функция представляет собой соотношение между выходным сигналом системы управления и входным сигналом для всех возможных значений входного сигнала. Блок-схема является визуализацией системы управления, в которой блоки представляют передаточные функции, а стрелки — различные входные и выходные сигналы.

Для любой системы управления существует эталонный вход, известный как возбуждение или причина, которая действует через операцию передачи (т.е. передаточную функцию) для создания эффекта, приводящего к управляемому выходу или ответу.

Таким образом, причинно-следственная связь между выходом и входом друг с другом связана через передаточную функцию.

В преобразовании Лапласа, если вход представлен R(s), а выход представлен C(s), то передаточная функция будет:

То есть, передаточная функция системы, умноженная на входную функцию, дает выходную функцию системы.

Что такое передаточная функция

Передаточная функция системы управления определяется как отношение преобразования Лапласа выходной переменной к преобразованию Лапласа входной переменной, предполагая, что все начальные условия равны нулю.

Процедура определения передаточной функции системы управления следующая:

1. Мы составляем уравнения для системы.

2. Затем мы берем преобразование Лапласа от уравнений системы, предполагая, что начальные условия равны нулю.

3. Определяем выход и вход системы.

4. Наконец, мы берем отношение преобразования Лапласа выхода к преобразованию Лапласа входа, которое является требуемой передаточной функцией.

Не обязательно, чтобы выход и вход системы управления принадлежали к одной и той же категории. Например, в электродвигателях вход является электрическим сигналом, тогда как выход является механическим сигналом, поскольку требуется электрическая энергия для вращения двигателей. Аналогично, в электрогенераторах вход является механическим сигналом, а выход — электрическим сигналом, так как требуется механическая энергия для производства электроэнергии в генераторе.

Но для математического анализа системы все виды сигналов должны быть представлены в подобной форме. Это делается путем преобразования всех видов сигналов в их форму Лапласа. Также передаточная функция системы представлена в форме Лапласа, разделяя выходное преобразование Лапласа на входное преобразование Лапласа. Таким образом, базовая блок-схема системы управления может быть представлена как


Где r(t) и c(t) — временные функции входного и выходного сигналов соответственно.

Методы получения передаточной функции

Существуют два основных способа получения передаточной функции для системы управления. Эти способы следующие:

• Метод блок-схем: Неудобно выводить полную передаточную функцию для сложной системы управления. Поэтому передаточная функция каждого элемента системы управления представлена в виде блок-схемы. Применяются методы сокращения блок-схем для получения требуемой передаточной функции.

• Графы сигналов: Модифицированная форма блок-схемы — это граф сигналов. Блок-схема дает графическое представление системы управления. Граф сигналов еще больше сокращает представление системы управления.

Полюсы и нули передаточной функции

Обычно функцию можно представить в виде полинома. Например,

Аналогично, передаточную функцию системы управления также можно представить как

Где K — коэффициент усиления передаточной функции.

Теперь, в вышеупомянутой функции, если s = z1, или s = z2, или s = z3,….s = zn, значение передаточной функции становится нулевым. Эти z1, z2, z3,….zn, являются корнями числительного полинома. Так как для этих корней числительный полином, передаточная функция становится нулевой, эти корни называются нулями передаточной функции.

Теперь, если s = p1, или s = p2, или s = p3,….s = pm, значение передаточной функции становится бесконечным. Таким образом, корни знаменателя называются полюсами функции.

Теперь давайте перепишем передаточную функцию в ее полиномиальной форме.

Теперь, предположим, что s стремится к бесконечности, так как корни являются конечными числами, они могут быть проигнорированы по сравнению с бесконечным s. Следовательно

Таким образом, когда s → ∞ и n > m, функция также будет иметь значение бесконечности, что означает, что передаточная функция имеет полюса при бесконечном s, и кратность или порядок таких полюсов равен n – m.
Аналогично, когда s → ∞ и n < m, передаточная функция будет иметь значение нуля, что означает, что передаточная функция имеет нули при бесконечном s, и кратность или порядок таких нулей равен m – n.

Концепция передаточной функции

Передаточная функция обычно выражается в преобразовании Лапласа и представляет собой не что иное, как отношение между входом и выходом системы. Рассмотрим систему, состоящую из последовательно соединенного сопротивления (R) и индуктивности (L) на источнике напряжения (V).

В этой цепи, ток 'i' является реакцией на применяемое напряжение (V) как причину. Следовательно, напряжение и ток цепи можно рассматривать как вход и выход системы соответственно.