سیستم کنترل کا ترانسفر فنکشن

یک تابع انتقال رابطه بین سیگنال خروجی یک سیستم کنترل و سیگنال ورودی، برای تمام مقادیر ممکن سیگنال ورودی را نشان می‌دهد. نمودار بلوک یک تصویرسازی از سیستم کنترل است که از بلوک‌ها برای نمایش تابع انتقال و پیکان‌ها برای نمایش سیگنال‌های ورودی و خروجی مختلف استفاده می‌کند.

برای هر سیستم کنترل، یک ورودی مرجع وجود دارد که به عنوان تحریک یا علت شناخته می‌شود که از طریق یک عملیات انتقال (یعنی تابع انتقال) عمل می‌کند تا یک اثر تولید کند که منجر به خروجی کنترل شده یا پاسخ می‌شود.

بنابراین رابطه علت و معلول بین خروجی و ورودی از طریق یک تابع انتقال با یکدیگر مرتبط است.

در تبدیل لاپلاس، اگر ورودی با R(s) و خروجی با C(s) نمایش داده شود، آنگاه تابع انتقال خواهد بود:

به عبارت دیگر، تابع انتقال سیستم ضرب شده در تابع ورودی تابع خروجی سیستم را می‌دهد.

چه چیزی تابع انتقال است

تابع انتقال یک سیستم کنترل به عنوان نسبت تبدیل لاپلاس متغیر خروجی به تبدیل لاپلاس متغیر ورودی تعریف می‌شود، با فرض اینکه تمام شرایط اولیه صفر باشند.

روند تعیین تابع انتقال یک سیستم کنترل به شرح زیر است:

1. ما معادلات سیستم را تشکیل می‌دهیم.

2. حالا ما تبدیل لاپلاس معادلات سیستم را محاسبه می‌کنیم، با فرض اینکه شرایط اولیه صفر باشند.

3. خروجی و ورودی سیستم را مشخص می‌کنیم.

4. در نهایت نسبت تبدیل لاپلاس خروجی به تبدیل لاپلاس ورودی را محاسبه می‌کنیم که تابع انتقال مورد نیاز است.

ضروری نیست که خروجی و ورودی یک سیستم کنترل از یک نوع باشند. به عنوان مثال، در موتورهای الکتریکی ورودی سیگنال الکتریکی است در حالی که خروجی سیگنال مکانیکی است، چون انرژی الکتریکی برای چرخاندن موتورها لازم است. به طور مشابه در یک ژنراتور الکتریکی، ورودی سیگنال مکانیکی و خروجی سیگنال الکتریکی است، چون انرژی مکانیکی برای تولید برق در ژنراتور لازم است.

اما برای تحلیل ریاضی یک سیستم، همه نوع سیگنال باید به صورت مشابه نمایش داده شود. این کار با تبدیل همه نوع سیگنال به فرم لاپلاس انجام می‌شود. همچنین تابع انتقال یک سیستم با تقسیم تابع لاپلاس خروجی به تابع لاپلاس ورودی نمایش داده می‌شود. بنابراین یک نمودار بلوکی پایه از یک سیستم کنترل می‌تواند به صورت زیر نمایش داده شود


که r(t) و c(t) به ترتیب توابع زمانی ورودی و خروجی هستند.

روش‌های به دست آوردن تابع انتقال

دو روش اصلی برای به دست آوردن تابع انتقال برای یک سیستم کنترل وجود دارد. این روش‌ها عبارتند از:

• روش نمودار بلوکی: برای یک سیستم کنترل پیچیده، به دست آوردن تابع انتقال کامل غیرعملی است. بنابراین تابع انتقال هر عنصر از یک سیستم کنترل با یک نمودار بلوکی نمایش داده می‌شود. تکنیک‌های کاهش نمودار بلوکی برای به دست آوردن تابع انتقال مورد نظر اعمال می‌شوند.

• نمودار جریان سیگنال: فرم اصلاح شده یک نمودار بلوکی یک نمودار جریان سیگنال است. نمودار بلوکی یک تصویرسازی از یک سیستم کنترل است. نمودار جریان سیگنال نمایش کوتاه‌تری از یک سیستم کنترل ارائه می‌دهد.

قطب‌ها و صفرهای تابع انتقال

به طور کلی، یک تابع می‌تواند به فرم چندجمله‌ای نمایش داده شود. به عنوان مثال،

حال به طور مشابه تابع انتقال یک سیستم کنترل نیز می‌تواند به صورت زیر نمایش داده شود

که K به عنوان عامل کسب تابع انتقال شناخته می‌شود.

حال در تابع فوق، اگر s = z1، یا s = z2، یا s = z3،….s = zn، مقدار تابع انتقال صفر می‌شود. این z1، z2، z3،….zn، ریشه‌های چندجمله‌ای صورت هستند. چون برای این ریشه‌ها چندجمله‌ای صورت، تابع انتقال صفر می‌شود، این ریشه‌ها صفرهای تابع انتقال نامیده می‌شوند.

حال، اگر s = p1، یا s = p2، یا s = p3،….s = pm، مقدار تابع انتقال بی‌نهایت می‌شود. بنابراین ریشه‌های مخرج قطب‌های تابع نامیده می‌شوند.

حال بیایید تابع انتقال را در فرم چندجمله‌ای خود بازننویسی کنیم.

حال، فرض کنید s به سمت بی‌نهایت میل می‌کند، چون ریشه‌ها همه اعداد محدود هستند، می‌توان آن‌ها را نسبت به s بی‌نهایت نادیده گرفت. بنابراین

بنابراین، وقتی s → ∞ و n > m، تابع نیز مقدار بی‌نهایت خواهد داشت، یعنی تابع انتقال قطب‌هایی در s بی‌نهایت دارد، و مرتبه یا چندگانگی این قطب‌ها n – m است.
دوباره، وقتی s → ∞ و n < m، تابع انتقال مقدار