Přenosová funkce řídicího systému

Přenosová funkce reprezentuje vztah mezi výstupním signálem řídicího systému a vstupním signálem pro všechny možné hodnoty vstupu. Blokový diagram je vizualizace řídicího systému, která používá bloky k reprezentaci přenosové funkce a šipky, které reprezentují různé vstupní a výstupní signály.

Pro každý řídicí systém existuje referenční vstup známý jako vzrušení nebo příčina, která působí prostřednictvím přenosové operace (tj. přenosové funkce) a vyvolává efekt vedoucí k ovládanému výstupu nebo odpovědi.

Tak tedy vztah příčiny a následku mezi výstupem a vstupem je spojen prostřednictvím přenosové funkce.

V Laplaceově transformaci, pokud je vstup reprezentován R(s) a výstup C(s), pak bude přenosová funkce:

To znamená, že přenosová funkce systému vynásobená vstupní funkcí dává výstupní funkci systému.

Co je přenosová funkce

Přenosová funkce řídicího systému je definována jako poměr Laplaceovy transformace výstupní proměnné k Laplaceově transformaci vstupní proměnné za předpokladu, že všechny počáteční podmínky jsou nulové.

Postup pro určení přenosové funkce řídicího systému je následující:

1. Sestavíme rovnice pro systém.

2. Nyní vezmeme Laplaceovu transformaci rovnic systému, přičemž počáteční podmínky jsou nulové.

3. Specifikujeme výstup a vstup systému.

4. Nakonec vezmeme poměr Laplaceovy transformace výstupu a Laplaceovy transformace vstupu, což je požadovaná přenosová funkce.

Není nutné, aby výstup a vstup řídicího systému byly stejné kategorie. Například u elektrických motorů je vstup elektrický signál, zatímco výstup je mechanický signál, protože k otáčení motorů je potřeba elektrická energie. Podobně u elektrického generátoru je vstup mechanický signál a výstup elektrický signál, protože k výrobě elektřiny v generátoru je potřeba mechanická energie.

Ale pro matematickou analýzu systému by měly být všechny druhy signálů reprezentovány ve stejném formátu. To se dělá transformací všech druhů signálů do jejich Laplaceovy formy. Také přenosová funkce systému je reprezentována Laplaceovou formou dělením výstupní Laplaceovy přenosové funkce vstupní Laplaceovou přenosovou funkcí. Proto lze základní blokový diagram řídicího systému reprezentovat jako


Kde r(t) a c(t) jsou časové funkce vstupního a výstupního signálu.

Způsoby získání přenosové funkce

Existují dva hlavní způsoby získání přenosové funkce pro řídicí systém. Tyto způsoby jsou:

• Metoda blokového diagramu: Není vhodné odvodit kompletní přenosovou funkci pro komplexní řídicí systém. Proto je přenosová funkce každého prvku řídicího systému reprezentována blokovým diagramem. Používají se techniky redukce blokového diagramu pro získání požadované přenosové funkce.

• Signální grafy: Modifikovanou formou blokového diagramu je signální graf. Blokový diagram poskytuje obrazovou reprezentaci řídicího systému. Signální graf dále zkracuje reprezentaci řídicího systému.

Póly a nuly přenosové funkce

Obecně lze funkci reprezentovat v polynomiální formě. Například,

Podobně lze přenosovou funkci řídicího systému také reprezentovat jako

Kde K je znám jako faktor zisku přenosové funkce.

Nyní v této funkci, pokud s = z1, nebo s = z2, nebo s = z3,….s = zn, hodnota přenosové funkce se stane nulová. Tyto z1, z2, z3,….zn, jsou kořeny čitatelského polynomu. Protože pro tyto kořeny čitatelský polynom přenosová funkce se stane nulová, tyto kořeny se nazývají nuly přenosové funkce.

Nyní, pokud s = p1, nebo s = p2, nebo s = p3,….s = pm, hodnota přenosové funkce se stane nekonečná. Tedy kořeny jmenovatele se nazývají póly funkce.

Nyní přepišme přenosovou funkci do její polynomiální formy.

Nyní, předpokládejme, že s se blíží k nekonečnu, protože kořeny jsou všechny konečné číslo, mohou být v porovnání s nekonečným s ignorovány. Proto

Proto, když s → ∞ a n > m, funkce bude mít také hodnotu nekonečno, to znamená, že přenosová funkce má póly v nekonečném s, a multiplikita nebo řád takového pólu je n – m.
Opět, když s → ∞ a n < m, přenosová funkce bude mít hodnotu nula, což znamená, že přenosová funkce má nuly v nekonečném s, a multiplikita nebo řád takových nul je m – n.

Koncept přenosové funkce

Přenosová funkce je obecně vyjádřena Laplaceovou transformací a nic jiného není než vztah mezi vstupem a výstupem systému. Předpokládejme systém složený ze sériově zapojeného odporu (R) a cívky