Fonction de transfert du système de contrôle

Une fonction de transfert représente la relation entre le signal de sortie d'un système de contrôle et le signal d'entrée, pour toutes les valeurs d'entrée possibles. Un diagramme en bloc est une visualisation du système de contrôle qui utilise des blocs pour représenter la fonction de transfert, et des flèches qui représentent les différents signaux d'entrée et de sortie.

Pour tout système de contrôle, il existe une entrée de référence connue sous le nom d'excitation ou de cause qui opère à travers une opération de transfert (c'est-à-dire la fonction de transfert) pour produire un effet résultant en une sortie contrôlée ou en une réponse.

Ainsi, la relation de cause à effet entre la sortie et l'entrée est liée par une fonction de transfert.

Dans une Transformation de Laplace, si l'entrée est représentée par R(s) et la sortie par C(s), alors la fonction de transfert sera :

Cela signifie que la fonction de transfert du système multipliée par la fonction d'entrée donne la fonction de sortie du système.

Qu'est-ce qu'une Fonction de Transfert

La fonction de transfert d'un système de contrôle est définie comme le rapport de la transformée de Laplace de la variable de sortie à la transformée de Laplace de la variable d'entrée, en supposant que toutes les conditions initiales sont nulles.

La procédure pour déterminer la fonction de transfert d'un système de contrôle est la suivante :

1. Nous formons les équations pour le système.

2. Maintenant, nous prenons la transformée de Laplace des équations du système, en supposant que les conditions initiales sont nulles.

3. Nous spécifions la sortie et l'entrée du système.

4. Enfin, nous prenons le rapport de la transformée de Laplace de la sortie et de la transformée de Laplace de l'entrée, ce qui est la fonction de transfert requise.

Il n'est pas nécessaire que la sortie et l'entrée d'un système de contrôle soient de la même catégorie. Par exemple, dans les moteurs électriques, l'entrée est un signal électrique tandis que la sortie est un signal mécanique, car l'énergie électrique est nécessaire pour faire tourner les moteurs. De même, dans un générateur électrique, l'entrée est un signal mécanique et la sortie est un signal électrique, car l'énergie mécanique est nécessaire pour produire de l'électricité dans un générateur.

Mais pour l'analyse mathématique d'un système, tous les types de signaux doivent être représentés sous une forme similaire. Cela est fait en transformant tous les types de signaux en leur forme de Laplace. De plus, la fonction de transfert d'un système est représentée sous forme de Laplace en divisant la fonction de transfert de sortie par la fonction de transfert d'entrée. Ainsi, un diagramme de bloc de base d'un système de contrôle peut être représenté comme


Où r(t) et c(t) sont les fonctions de domaine temporel de l'entrée et de la sortie respectivement.

Méthodes d'obtention d'une fonction de transfert

Il existe deux principales méthodes pour obtenir une fonction de transfert pour un système de contrôle. Ces méthodes sont :

• Méthode du Diagramme en Bloc : Il n'est pas pratique de dériver une fonction de transfert complète pour un système de contrôle complexe. Par conséquent, la fonction de transfert de chaque élément d'un système de contrôle est représentée par un diagramme en bloc. Des techniques de réduction de diagrammes en bloc sont appliquées pour obtenir la fonction de transfert souhaitée.

• Graphes de flux de signal : La forme modifiée d'un diagramme en bloc est un graphe de flux de signal. Le diagramme en bloc donne une représentation picturale d'un système de contrôle. Le graphe de flux de signal raccourcit davantage la représentation d'un système de contrôle.

Pôles et Zéros de la Fonction de Transfert

Généralement, une fonction peut être représentée sous sa forme polynomiale. Par exemple,

De la même manière, la fonction de transfert d'un système de contrôle peut également être représentée comme

Où K est connu comme le facteur de gain de la fonction de transfert.

Maintenant, dans la fonction ci-dessus, si s = z1, ou s = z2, ou s = z3,….s = zn, la valeur de la fonction de transfert devient nulle. Ces z1, z2, z3,….zn, sont les racines du polynôme du numérateur. Comme pour ces racines, le polynôme du numérateur, la fonction de transfert devient nulle, ces racines sont appelées les zéros de la fonction de transfert.

Maintenant, si s = p1, ou s = p2, ou s = p3,….s = pm, la valeur de la fonction de transfert devient infinie. Ainsi, les racines du dénominateur sont appelées les pôles de la fonction.

Réécrivons maintenant la fonction de transfert sous sa forme polynomiale.

Maintenant, supposons que s tend vers l'infini, comme les racines sont toutes des nombres finis, elles peuvent être ignorées par rapport à l'infini s. Par conséquent

Ainsi, lorsque s → ∞ et n > m, la fonction aura également une valeur d'infini, cela signifie que la fonction de transfert a des pôles à l'infini, et la multiplicité ou l'ordre de tel pôle est n – m.
De nouveau, lorsque s → ∞ et n < m, la fonction de transfert aura une valeur de zéro, cela signifie que la fonction de transfert a des zéros à l'infini, et la multiplicité ou l'ordre de tels zéros est m – n.

Concept de la Fonction de Transfert

La fonction de transfert est généralement exprimée en Transformée de Laplace et elle n'est rien d'autre que la relation entre l'entrée et la sortie d'un système. Considérons un système composé d'une résistance (R) et d'une inductance (L) connectées en série à travers une source de tension (V).