Overførselsfunktion for styresystem

En overførselsfunktion repræsenterer forholdet mellem udgangssignalet af et kontrolsystem og indgangssignalet for alle mulige indgangsværdier. En blokdiagram er en visualisering af kontrolsystemet, der bruger blokke til at repræsentere overførselsfunktionen, og pile, der repræsenterer de forskellige indgangs- og udgangssignaler.

For ethvert kontrolsystem findes der en referencindgang kendt som opspænding eller årsag, der virker gennem en overførselsoperation (dvs. overførselsfunktionen) for at producere en effekt, der resulterer i en kontrolleret udgang eller respons.

Således er forholdet mellem årsag og effekt mellem udgang og indgang relateret til hinanden gennem en overførselsfunktion.

I en Laplace-transform, hvis indgangen er repræsenteret ved R(s) og udgangen er repræsenteret ved C(s), så vil overførselsfunktionen være:

Dvs., at systemets overførselsfunktion gange med indgangsfunktionen giver systemets udgangsfunktion.

Hvad er en Overførselsfunktion

Overførselsfunktionen for et kontrolsystem defineres som forholdet mellem Laplace-transformen af den afhængige variabel til Laplace-transformen af den uafhængige variabel, under antagelse af, at alle begyndelsesbetingelser er nul.

Procedurerne for at bestemme overførselsfunktionen for et kontrolsystem er følgende:

1. Vi danner ligningerne for systemet.

2. Nu tager vi Laplace-transformen af systemligningerne, under antagelse af, at begyndelsesbetingelserne er nul.

3. Specifiser systemets udgang og indgang.

4. Til sidst tager vi forholdet mellem Laplace-transformen af udgangen og Laplace-transformen af indgangen, hvilket er den ønskede overførselsfunktion.

Det er ikke nødvendigt, at udgang og indgang i et kontrolsystem er af samme kategori. For eksempel, i elektriske motorer er indgangen et elektrisk signal, mens udgangen er et mekanisk signal, da det elektriske energi kræves for at rotere motorerne. Ligeså i en elektrisk generator, er indgangen et mekanisk signal, og udgangen er et elektrisk signal, da mekanisk energi kræves for at producere strøm i en generator.

Men for matematisk analyse af et system, skal alle typer signaler repræsenteres på en lignende måde. Dette gøres ved at transformere alle typer signaler til deres Laplace-form. Også overførselsfunktionen for et system repræsenteres i Laplace-form ved at dividere udgangens Laplace-transform med indgangens Laplace-transform. Derfor kan en grundlæggende blokdiagram af et kontrolsystem repræsenteres som


Hvor r(t) og c(t) er tidsdomænes funktioner for henholdsvis indgangs- og udgangssignal.

Metoder til at få en Overførselsfunktion

Der er to hovedmetoder til at få en overførselsfunktion for et kontrolsystem. Metoderne er:

• Blokdiagrammetode: Det er ikke bekvemt at udlede en komplet overførselsfunktion for et komplekst kontrolsystem. Derfor repræsenteres overførselsfunktionen for hvert element i et kontrolsystem ved hjælp af et blokdiagram. Blokdiagramreduktionsmetoder anvendes for at opnå den ønskede overførselsfunktion.

• Signalstrømsgrafer: Den ændrede form for et blokdiagram er en signalstrømsgraf. Blokdiagrammet giver en billedlig repræsentation af et kontrolsystem. Signalstrømsgrafen forkorter yderligere repræsentationen af et kontrolsystem.

Poler og Nullpunkter i Overførselsfunktionen

Generelt kan en funktion repræsenteres i sin polynomiske form. For eksempel,

Nu kan overførselsfunktionen for et kontrolsystem også repræsenteres som

Hvor K er kendt som forstærkningsfaktoren for overførselsfunktionen.

Nu i den ovenstående funktion, hvis s = z1, eller s = z2, eller s = z3,….s = zn, bliver værdien af overførselsfunktionen nul. Disse z1, z2, z3,….zn, er rødder af tællerpolynomet. Efterhånden som disse rødder gør, at tællerpolynomet, overførselsfunktionen bliver nul, kaldes disse rødder nullpunkter for overførselsfunktionen.

Nu, hvis s = p1, eller s = p2, eller s = p3,….s = pm, bliver værdien af overførselsfunktionen uendelig. Således kaldes rødderne i nævneren for polerne i funktionen.

Lad os nu omskrive overførselsfunktionen i dens polynomiske form.

Nu, lad os antage, at s nærmer sig uendelig, da rødderne er endelige tal, kan de ignoreres sammenlignet med den uendelige s. Derfor

Derfor, når s → ∞ og n > m, vil funktionen også have en værdi på uendelig, hvilket betyder, at overførselsfunktionen har poler ved uendelig s, og multipliciteten eller ordenen af sådanne poler er n – m.
Igen, når s → ∞ og n < m, vil overførselsfunktionen have en værdi på nul, hvilket betyder, at overførselsfunktionen har nullpunkter ved uendelig s, og multipliciteten eller ordenen af sådanne nullpunkter er m – n.

Konceptet om Overførselsfunktion

Overførselsfunktionen er generelt udtrykt ved Laplace-transform, og det er intet andet end forholdet mellem indgang og udgang af et system. Lad os betragte et system, der består af en serieforbindelse af modstand (R) og