制御システムの伝達関数
伝達関数は、制御システムの出力信号と入力信号との間の関係を表します。ブロック図は、伝達関数をブロックで表現し、様々な入力および出力信号を矢印で表現した制御システムの視覚化です。
任意の制御システムにおいて、励起または原因として知られる参照入力が存在し、これが伝達操作（つまり、伝達関数）を通じて効果を生み出し、制御された出力または応答を生成します。
したがって、出力と入力との因果関係は、伝達関数によって関連付けられます。
ラプラス変換では、入力をR(s)、出力をC(s)で表す場合、伝達関数は以下のようになります：
つまり、システムの伝達関数に入力関数を乗じると、システムの出力関数が得られます。
伝達関数とは
制御システムの伝達関数は、初期条件をゼロとするすべての場合において、出力変数のラプラス変換と入力変数のラプラス変換の比として定義されます。
制御システムの伝達関数を決定する手順は以下の通りです：
システムの式を作成します。
次に、初期条件をゼロと仮定して、システムの式のラプラス変換を取ります。
システムの出力と入力を指定します。
最後に、出力のラプラス変換と入力のラプラス変換の比を取ることで、必要な伝達関数を得ることができます。
制御システムの出力と入力が同じカテゴリである必要はありません。例えば、電気モーターでは、入力は電気信号であり、出力は機械信号です。これは、モーターを回転させるために電気エネルギーが必要だからです。同様に、発電機では、入力は機械信号であり、出力は電気信号です。これは、発電機で電力を生み出すために機械エネルギーが必要だからです。
しかし、システムの数学的分析のために、あらゆる種類の信号は似たような形式で表現されるべきです。これを行うためには、すべての種類の信号をそのラプラス形式に変換します。また、システムの伝達関数は、出力のラプラス変換を入力のラプラス変換で割ることによりラプラス形式で表現されます。したがって、制御システムの基本的なブロック図は以下のように表現できます
ここで、r(t)とc(t)はそれぞれ入力信号と出力信号の時間領域関数です。
伝達関数の取得方法
制御システムの伝達関数を取得する主な方法は2つあります。これらの方法は以下の通りです。
ブロック図法： 複雑な制御システムの完全な伝達関数を導出することは便利ではありません。したがって、制御システムの各要素の伝達関数はブロック図で表現されます。ブロック図の簡略化技術を適用して、必要な伝達関数を得ることができます。
信号フローグラフ： ブロック図の修正形が信号フローグラフです。ブロック図は制御システムの視覚的表現を与えますが、信号フローグラフは制御システムの表現をさらに短縮します。
伝達関数の極と零点
一般的に、関数は多項式形式で表現することができます。例えば、
同様に、制御システムの伝達関数も以下のように表現することができます：
ここで、Kは伝達関数のゲイン係数です。
上記の関数において、s = z1、またはs = z2、またはs = z3、…、s = znの場合、伝達関数の値はゼロになります。これらのz1、z2、z3、…、znは、分子多項式の根です。これらの根に対して分子多項式の値がゼロになるため、これらの根は伝達関数の零点と呼ばれます。
また、s = p1、またはs = p2、またはs = p3、…、s = pmの場合、伝達関数の値は無限大になります。したがって、分母の根は関数の極と呼ばれます。
次に、伝達関数を多項式形式で書き直してみましょう。
ここで、sが無限大に近づくと、根はすべて有限の数であるため、無限大のsと比較して無視できます。したがって、
したがって、s → ∞かつn > mの場合、関数の値も無限大になります。つまり、伝達関数は無限大のsに極を持ち、その多重度または次数はn – mです。
また、s → ∞かつn < mの場合、伝達関数の値はゼロになります。つまり、伝達関数は無限大のsに零点を持ち、その多重度または次数はm – nです。
伝達関数の概念
伝達関数は一般にラプラス変換で表現され、これはシステムの入力と出力の関係を示しています。抵抗（R）とインダクタンス（L）が直列に接続され、電圧源（V）に跨がっているシステムを考えます。
この回路では、電流 'i' は適用された電圧 (V) によって引き起こされる応答です。したがって、回路の電圧と電流はそれぞれシステムの入力と出力とみなすことができます。
回路から、
次にラプラス変換を適用すると、
