دالة التحويل لنظام التحكم

تمثل دالة التحويل العلاقة بين إشارة الخرج لنظام التحكم وإشارة الدخل، لجميع القيم الممكنة لإشارة الدخل. ويعد مخطط الكتل تصورًا لنظام التحكم يستخدم الكتل لتمثيل دالة التحويل، والسهام لتمثيل الإشارات المختلفة للدخول والخروج.

بالنسبة لأي نظام تحكم، يوجد مدخل مرجعي معروف باسم الإثارة أو السبب الذي يعمل عبر عملية التحويل (أي دالة التحويل) لإنتاج تأثير يؤدي إلى خرج محكوم أو استجابة.

وبالتالي فإن العلاقة بين السبب والنتيجة بين الخرج والدخل مرتبطة ببعضها البعض عبر دالة التحويل.

في تحويل لابلاس، إذا تم تمثيل الدخل بواسطة R(s) والخرج بواسطة C(s)، فستكون دالة التحويل:

أي أن دالة التحويل للنظام مضروبة في دالة الدخل تعطي دالة الخرج للنظام.

ما هي دالة التحويل

تُعرّف دالة التحويل لنظام التحكم كنسبة تحويل لابلاس للمتغير الخارج إلى تحويل لابلاس للمتغير الداخل بافتراض أن جميع الشروط الأولية تساوي الصفر.

إجراءات تحديد دالة التحويل لنظام التحكم كالتالي:

1. نقوم بتكوين المعادلات للنظام.

2. ثم نأخذ تحويل لابلاس للمعادلات الخاصة بالنظام، بافتراض أن الشروط الأولية تساوي الصفر.

3. نحدد خرج النظام ودخليه.

4. أخيرًا نأخذ نسبة تحويل لابلاس للخرج إلى تحويل لابلاس للدخل وهي دالة التحويل المطلوبة.

ليس من الضروري أن يكون الخرج والدخل لنظام التحكم من نفس الفئة. على سبيل المثال، في الموتورات الكهربائية يكون الدخل إشارة كهربائية بينما يكون الخرج إشارة ميكانيكية لأن الطاقة الكهربائية مطلوبة لتدوير المحركات. وبالمثل في المولد الكهربائي، يكون الدخل إشارة ميكانيكية والخرج إشارة كهربائية، حيث يتم استخدام الطاقة الميكانيكية لإنتاج الكهرباء في المولد.

ولكن بالنسبة للتحليل الرياضي لنظام، يجب أن يتم تمثيل جميع أنواع الإشارات بشكل مماثل. يتم ذلك عن طريق تحويل جميع أنواع الإشارات إلى شكلها في تحويل لابلاس. كما يتم تمثيل دالة التحويل لنظام بتحويل لابلاس عن طريق تقسيم تحويل لابلاس للخرج إلى تحويل لابلاس للدخل. وبالتالي يمكن تمثيل مخطط كتل أساسي لنظام التحكم ك


حيث r(t) وc(t) هما الدوال الزمنية للإشارة الداخل والخارجة على التوالي.

طرق الحصول على دالة التحويل

هناك طريقتان رئيسيتان للحصول على دالة التحويل لنظام التحكم. هاتان الطريقتان هما:

• طريقة الرسم البياني بالكتل: ليس من المناسب اشتقاق دالة التحويل الكاملة لنظام التحكم المعقد. لذلك يتم تمثيل دالة التحويل لكل عنصر من عناصر نظام التحكم برسم بياني بالكتل. يتم تطبيق تقنيات تقليل الرسوم البيانية بالكتل للحصول على دالة التحويل المرغوبة.

• رسومات تدفق الإشارات: الشكل المعدل لمخطط الكتل هو رسم تدفق الإشارات. يوفر مخطط الكتل تمثيلاً صورياً لنظام التحكم. يقوم رسم تدفق الإشارات بتقليص التمثيل لنظام التحكم.

النقاط الصفرية والأقطاب لدالة التحويل

عادةً ما يمكن تمثيل أي دالة بصورتها متعددة الحدود. على سبيل المثال،

وبالمثل، يمكن أيضًا تمثيل دالة التحويل لنظام التحكم ك

حيث K يعرف بعامل المكسب لدالة التحويل.

الآن في الدالة أعلاه، إذا كان s = z1، أو s = z2، أو s = z3،….s = zn، فإن قيمة دالة التحويل تصبح صفر. هذه z1، z2، z3،….zn، هي جذور متعدد الحدود البسط. بما أن هذه الجذور تجعل متعدد الحدود البسط صفرًا، فإن هذه الجذور تُسمى النقاط الصفرية لدالة التحويل.

الآن، إذا كان s = p1، أو s = p2، أو s = p3،….s = pm، فإن قيمة دالة التحويل تصبح لا نهائي. وهكذا فإن جذور المقام تُسمى الأقطاب للدالة.

دعونا الآن نعيد كتابة دالة التحويل بصورتها متعددة الحدود.

الآن، دعنا نفترض أن s يقترب من اللانهائي، حيث أن الجذور كلها أعداد محدودة، يمكن تجاهلها مقارنة بالـ s اللانهائي. لذا

لذا، عندما s → ∞ و n > m، ستكون قيمة الدالة أيضًا لا نهائي، مما يعني أن دالة التحويل لها أقطاب عند s اللانهائي، وترتيب أو درجة هذا القطب هو n – m.
مرة أخرى، عندما s → ∞ و n < m، ستكون قيمة دالة التحويل صفر، مما يعني أن دالة التحويل لها نقاط صفرية عند s اللانهائي، وترتيب أو درجة هذه النقاط الصفرية هو m – n.

مفهوم دالة التحويل

عادة ما يتم التعبير عن دالة التحويل باستخدام تحويل لابلاس ولا شيء سوى العلاقة بين الدخل والخرج لنظام. دعنا نعتبر نظامًا يتكون من مقاومة R ومكثف L متصلين سلسلة عبر مصدر V.