Função de Transferência do Sistema de Controle

Uma função de transferência representa a relação entre o sinal de saída de um sistema de controle e o sinal de entrada, para todos os valores possíveis de entrada. Um diagrama de blocos é uma visualização do sistema de controle que usa blocos para representar a função de transferência, e setas que representam os diversos sinais de entrada e saída.

Para qualquer sistema de controle, existe uma entrada de referência conhecida como excitação ou causa, que opera através de uma operação de transferência (ou seja, a função de transferência) para produzir um efeito resultando em uma saída controlada ou resposta.

Assim, a relação de causa e efeito entre a saída e a entrada está relacionada uma à outra através de uma função de transferência.

Em uma Transformada de Laplace, se a entrada for representada por R(s) e a saída for representada por C(s), então a função de transferência será:

Isso é, a função de transferência do sistema multiplicada pela função de entrada dá a função de saída do sistema.

O que é uma Função de Transferência

A função de transferência de um sistema de controle é definida como a razão da transformada de Laplace da variável de saída para a transformada de Laplace da variável de entrada, assumindo todas as condições iniciais iguais a zero.

O procedimento para determinar a função de transferência de um sistema de controle é o seguinte:

1. Formamos as equações para o sistema.

2. Agora tomamos a transformada de Laplace das equações do sistema, assumindo condições iniciais como zero.

3. Especificamos a saída e a entrada do sistema.

4. Finalmente, tomamos a razão da transformada de Laplace da saída e da transformada de Laplace da entrada, que é a função de transferência desejada.

Não é necessário que a saída e a entrada de um sistema de controle sejam da mesma categoria. Por exemplo, em motores elétricos, a entrada é um sinal elétrico, enquanto a saída é um sinal mecânico, já que a energia elétrica é necessária para girar os motores. Da mesma forma, em um gerador elétrico, a entrada é um sinal mecânico e a saída é um sinal elétrico, já que a energia mecânica é necessária para produzir eletricidade no gerador.

Mas, para análise matemática de um sistema, todos os tipos de sinais devem ser representados de forma similar. Isso é feito transformando todos os tipos de sinal em sua forma de Laplace. Além disso, a função de transferência de um sistema é representada na forma de Laplace, dividindo a função de transferência de Laplace de saída pela função de transferência de Laplace de entrada. Portanto, um diagrama de blocos básico de um sistema de controle pode ser representado como


Onde r(t) e c(t) são funções de domínio do tempo do sinal de entrada e saída, respectivamente.

Métodos de Obtenção de uma Função de Transferência

Existem dois principais métodos de obter uma função de transferência para o sistema de controle. Os métodos são:

• Método do Diagrama de Blocos: Não é conveniente derivar uma função de transferência completa para um sistema de controle complexo. Portanto, a função de transferência de cada elemento de um sistema de controle é representada por um diagrama de blocos. Técnicas de redução de diagramas de blocos são aplicadas para obter a função de transferência desejada.

• Gráficos de Fluxo de Sinais: A forma modificada de um diagrama de blocos é um gráfico de fluxo de sinais. O diagrama de blocos fornece uma representação pictórica de um sistema de controle. O gráfico de fluxo de sinais ainda encurta a representação de um sistema de controle.

Pólos e Zeros de uma Função de Transferência

Geralmente, uma função pode ser representada em sua forma polinomial. Por exemplo,

De maneira semelhante, a função de transferência de um sistema de controle também pode ser representada como

Onde K é conhecido como o fator de ganho da função de transferência.

Agora, na função acima, se s = z1, ou s = z2, ou s = z3,….s = zn, o valor da função de transferência torna-se zero. Esses z1, z2, z3,….zn, são raízes do polinômio do numerador. Como, para essas raízes, o polinômio do numerador, a função de transferência torna-se zero, essas raízes são chamadas de zeros da função de transferência.

Agora, se s = p1, ou s = p2, ou s = p3,….s = pm, o valor da função de transferência torna-se infinito. Assim, as raízes do denominador são chamadas de pólos da função.

Agora, vamos reescrever a função de transferência em sua forma polinomial.

Agora, consideremos que s se aproxima do infinito, como as raízes são números finitos, elas podem ser ignoradas em comparação com o infinito s. Portanto

Portanto, quando s → ∞ e n > m, a função terá também valor de infinito, isso significa que a função de transferência tem pólos no infinito s, e a multiplicidade ou ordem de tal polo é n – m.
Novamente, quando s → ∞ e n < m, a função de transferência terá valor de zero, isso significa que a função de transferência tem zeros no infinito s, e a multiplicidade ou ordem de tais zeros é m – n.

Conceito de Função de Transferência

A função de transferência geralmente é expressa na Transformada de Laplace e nada mais é do que a relação entre a entrada e a saída de um sistema. Consideremos um sistema que consiste em uma resistência (R) e indutância (L) conectadas em série através de uma fonte de tensão (V).

Neste circuito, a corrente 'i' é a resposta devido à tensão aplicada (V) como causa. Portanto, a tensão e a corrente do circuito podem ser consideradas como entrada e saída do sistema, respectivamente.