Funzione di Trasferimento del Sistema di Controllo

Una funzione di trasferimento rappresenta la relazione tra il segnale di uscita di un sistema di controllo e il segnale di ingresso, per tutti i possibili valori di ingresso. Un diagramma a blocchi è una visualizzazione del sistema di controllo che utilizza blocchi per rappresentare la funzione di trasferimento e frecce per rappresentare i vari segnali di ingresso e uscita.

Per qualsiasi sistema di controllo, esiste un ingresso di riferimento noto come eccitazione o causa che opera attraverso un'operazione di trasferimento (cioè la funzione di trasferimento) per produrre un effetto che risulta in un'uscita controllata o in una risposta.

Pertanto, la relazione di causa ed effetto tra l'uscita e l'ingresso è correlata tra loro attraverso una funzione di trasferimento.

In una Trasformata di Laplace, se l'ingresso è rappresentato da R(s) e l'uscita è rappresentata da C(s), allora la funzione di trasferimento sarà:

Cioè, la funzione di trasferimento del sistema moltiplicata per la funzione di ingresso dà la funzione di uscita del sistema.

Cos'è una Funzione di Trasferimento

La funzione di trasferimento di un sistema di controllo è definita come il rapporto tra la trasformata di Laplace della variabile di uscita e la trasformata di Laplace della variabile di ingresso, assumendo tutte le condizioni iniziali pari a zero.

La procedura per determinare la funzione di trasferimento di un sistema di controllo è la seguente:

1. Formiamo le equazioni per il sistema.

2. Ora prendiamo la trasformata di Laplace delle equazioni del sistema, assumendo le condizioni iniziali pari a zero.

3. Specifichiamo l'uscita e l'ingresso del sistema.

4. Infine, prendiamo il rapporto tra la trasformata di Laplace dell'uscita e la trasformata di Laplace dell'ingresso, che è la funzione di trasferimento richiesta.

Non è necessario che l'uscita e l'ingresso di un sistema di controllo siano della stessa categoria. Ad esempio, nei motori elettrici, l'ingresso è un segnale elettrico mentre l'uscita è un segnale meccanico, poiché l'energia elettrica è necessaria per far ruotare i motori. Analogamente, in un generatore elettrico, l'ingresso è un segnale meccanico e l'uscita è un segnale elettrico, poiché l'energia meccanica è necessaria per produrre elettricità in un generatore.

Ma per l'analisi matematica di un sistema, tutti i tipi di segnali dovrebbero essere rappresentati in una forma simile. Questo viene fatto trasformando tutti i tipi di segnale nella loro forma di Laplace. Inoltre, la funzione di trasferimento di un sistema è rappresentata nella forma di Laplace dividendo la funzione di trasferimento di uscita per la funzione di trasferimento di ingresso. Pertanto, un diagramma a blocchi di base di un sistema di controllo può essere rappresentato come


Dove r(t) e c(t) sono le funzioni nel dominio del tempo dell'ingresso e dell'uscita, rispettivamente.

Metodi per Ottenere una Funzione di Trasferimento

Ci sono due principali modi per ottenere una funzione di trasferimento per il sistema di controllo. I metodi sono:

• Metodo del Diagramma a Blocchi: Non è conveniente derivare una funzione di trasferimento completa per un sistema di controllo complesso. Pertanto, la funzione di trasferimento di ogni elemento di un sistema di controllo è rappresentata da un diagramma a blocchi. Si applicano tecniche di riduzione dei diagrammi a blocchi per ottenere la funzione di trasferimento desiderata.

• Grafici a Flusso di Segnale: La forma modificata di un diagramma a blocchi è un grafico a flusso di segnale. Il diagramma a blocchi fornisce una rappresentazione visiva di un sistema di controllo. Il grafico a flusso di segnale abbrevia ulteriormente la rappresentazione di un sistema di controllo.

Poli e Zeri della Funzione di Trasferimento

In generale, una funzione può essere rappresentata nella sua forma polinomiale. Ad esempio,

Analogamente, la funzione di trasferimento di un sistema di controllo può essere rappresentata come

Dove K è noto come fattore di guadagno della funzione di trasferimento.

Nella funzione sopra, se s = z1, o s = z2, o s = z3,….s = zn, il valore della funzione di trasferimento diventa zero. Questi z1, z2, z3,….zn, sono le radici del polinomio numeratore. Poiché per queste radici il polinomio numeratore, la funzione di trasferimento diventa zero, queste radici vengono chiamate zeri della funzione di trasferimento.

Ora, se s = p1, o s = p2, o s = p3,….s = pm, il valore della funzione di trasferimento diventa infinito. Pertanto, le radici del denominatore vengono chiamate i poli della funzione.

Riscriviamo ora la funzione di trasferimento nella sua forma polinomiale.

Ora, consideriamo s che tende all'infinito, poiché le radici sono tutti numeri finiti, possono essere ignorate rispetto all'infinito s. Pertanto

Quindi, quando s → ∞ e n > m, la funzione avrà anche un valore di infinito, il che significa che la funzione di trasferimento ha poli all'infinito s, e la molteplicità o ordine di tale polo è n – m.
Analogamente, quando s → ∞ e n < m, la funzione di trasferimento avrà un valore di zero, il che significa che la funzione di trasferimento ha zeri all'infinito s, e la molteplicità o ordine di tali zeri è m – n.

Concetto di Funzione di Trasferimento

La funzione di trasferimento è generalmente espressa tramite la Trasformata di Laplace e non è altro che la relazione tra ingresso e uscita di un sistema. Consideriamo un sistema costituito da una resistenza (R) e un induttore (