Función de Transferencia del Sistema de Control

Una función de transferencia representa la relación entre la señal de salida de un sistema de control y la señal de entrada, para todos los valores posibles de entrada. Un diagrama de bloques es una visualización del sistema de control que utiliza bloques para representar la función de transferencia, y flechas que representan las diversas señales de entrada y salida.

Para cualquier sistema de control, existe una entrada de referencia conocida como excitación o causa que opera a través de una operación de transferencia (es decir, la función de transferencia) para producir un efecto resultante en la salida controlada o respuesta.

Así, la relación causa-efecto entre la salida y la entrada está relacionada a través de una función de transferencia.

En una Transformada de Laplace, si la entrada se representa por R(s) y la salida se representa por C(s), entonces la función de transferencia será:

Es decir, la función de transferencia del sistema multiplicada por la función de entrada da la función de salida del sistema.

¿Qué es una Función de Transferencia?

La función de transferencia de un sistema de control se define como la razón de la transformada de Laplace de la variable de salida a la transformada de Laplace de la variable de entrada, asumiendo que todas las condiciones iniciales son cero.

El procedimiento para determinar la función de transferencia de un sistema de control es el siguiente:

1. Formamos las ecuaciones para el sistema.

2. Ahora tomamos la transformada de Laplace de las ecuaciones del sistema, asumiendo que las condiciones iniciales son cero.

3. Especificamos la salida y la entrada del sistema.

4. Finalmente, tomamos la razón de la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada, lo cual es la función de transferencia requerida.

No es necesario que la salida y la entrada de un sistema de control sean de la misma categoría. Por ejemplo, en motores eléctricos, la entrada es una señal eléctrica mientras que la salida es una señal mecánica, ya que se requiere energía eléctrica para hacer girar los motores. De manera similar, en un generador eléctrico, la entrada es una señal mecánica y la salida es una señal eléctrica, ya que se requiere energía mecánica para producir electricidad en un generador.

Pero para el análisis matemático de un sistema, todas las señales deben estar representadas en una forma similar. Esto se hace transformando todas las señales a su forma de Laplace. También, la función de transferencia de un sistema se representa en forma de Laplace dividiendo la función de transferencia de Laplace de salida por la función de transferencia de Laplace de entrada. Por lo tanto, un diagrama de bloques básico de un sistema de control puede representarse como


Donde r(t) y c(t) son funciones en el dominio del tiempo de la señal de entrada y salida, respectivamente.

Métodos para Obtener una Función de Transferencia

Existen dos formas principales de obtener una función de transferencia para el sistema de control. Los métodos son:

• Método de Diagramas de Bloques: No es conveniente derivar una función de transferencia completa para un sistema de control complejo. Por lo tanto, la función de transferencia de cada elemento de un sistema de control se representa mediante un diagrama de bloques. Se aplican técnicas de reducción de diagramas de bloques para obtener la función de transferencia deseada.

• Gráficos de Flujo de Señal: La forma modificada de un diagrama de bloques es un gráfico de flujo de señal. El diagrama de bloques proporciona una representación pictórica de un sistema de control. El gráfico de flujo de señal acorta aún más la representación de un sistema de control.

Pólos y Ceros de la Función de Transferencia

Generalmente, una función se puede representar en su forma polinómica. Por ejemplo,

De manera similar, la función de transferencia de un sistema de control también se puede representar como

Donde K es conocido como el factor de ganancia de la función de transferencia.

Ahora, en la función anterior, si s = z1, o s = z2, o s = z3,….s = zn, el valor de la función de transferencia se vuelve cero. Estos z1, z2, z3,….zn, son las raíces del polinomio numerador. Como para estas raíces el polinomio numerador, la función de transferencia se vuelve cero, estas raíces se llaman ceros de la función de transferencia.

Ahora, si s = p1, o s = p2, o s = p3,….s = pm, el valor de la función de transferencia se vuelve infinito. Así, las raíces del denominador se llaman los pólos de la función.

Ahora, vamos a reescribir la función de transferencia en su forma polinómica.

Ahora, supongamos que s se aproxima al infinito, ya que las raíces son todos números finitos, pueden ignorarse en comparación con el infinito s. Por lo tanto

Por lo tanto, cuando s → ∞ y n > m, la función tendrá también un valor de infinito, lo que significa que la función de transferencia tiene pólos en s infinito, y la multiplicidad o orden de tal polo es n – m.
Nuevamente, cuando s → ∞ y n < m, la función de transferencia tendrá un valor de cero, lo que significa que la función de transferencia tiene ceros en s infinito, y la multiplicidad o orden de tales ceros es m – n.

Concepto de Función de Transferencia

La función de transferencia generalmente se expresa en la Transformada de Laplace y no es más que la relación entre la entrada y la salida de un sistema. Consideremos un sistema que consiste en una resistencia R y una inductancia L conectadas en serie a través de una fuente de voltaje V.

En este circuito, la cor