تابع انتقال سیستم کنترل

تابع انتقال رابطه بین سیگنال خروجی یک سیستم کنترل و سیگنال ورودی آن برای تمام مقادیر ممکن ورودی را نشان می‌دهد. دیاگرام بلوکی یک تصویرسازی از سیستم کنترل است که از بلوک‌ها برای نمایش تابع انتقال و از پیکان‌ها برای نمایش سیگنال‌های ورودی و خروجی مختلف استفاده می‌کند.

برای هر سیستم کنترل، یک ورودی مرجع وجود دارد که به عنوان تحریک یا علت عمل می‌کند و از طریق عملیات انتقال (یعنی تابع انتقال) باعث ایجاد یک اثر می‌شود که در نتیجه آن خروجی کنترل شده یا پاسخ حاصل می‌شود.

بنابراین رابطه علت و معلول بین خروجی و ورودی از طریق یک تابع انتقال با یکدیگر مرتبط است.

در تبدیل لاپلاس، اگر ورودی با R(s) و خروجی با C(s) نمایش داده شود، آنگاه تابع انتقال خواهد بود:

به عبارت دیگر، تابع انتقال سیستم ضرب شده با تابع ورودی تابع خروجی سیستم را می‌دهد.

چه چیزی تابع انتقال است

تابع انتقال یک سیستم کنترل به صورت نسبت تبدیل لاپلاس متغیر خروجی به تبدیل لاپلاس متغیر ورودی تعریف می‌شود با فرض اینکه تمام شرایط اولیه صفر باشند.

روند تعیین تابع انتقال یک سیستم کنترل به شرح زیر است:

1. ما معادلات سیستم را تشکیل می‌دهیم.

2. حالا ما تبدیل لاپلاس معادلات سیستم را با فرض شرایط اولیه صفر محاسبه می‌کنیم.

3. خروجی و ورودی سیستم را مشخص می‌کنیم.

4. در نهایت نسبت تبدیل لاپلاس خروجی به تبدیل لاپلاس ورودی که تابع انتقال مورد نیاز است را محاسبه می‌کنیم.

ضروری نیست که ورودی و خروجی یک سیستم کنترل از یک نوع باشند. به عنوان مثال، در موتورهای الکتریکی ورودی سیگنال الکتریکی است در حالی که خروجی سیگنال مکانیکی است زیرا انرژی الکتریکی برای چرخاندن موتور لازم است. به طور مشابه در یک مولد الکتریکی، ورودی سیگنال مکانیکی و خروجی سیگنال الکتریکی است، زیرا انرژی مکانیکی برای تولید برق در یک مولد لازم است.

اما برای تحلیل ریاضی یک سیستم، تمام انواع سیگنال‌ها باید به صورت مشابه نمایش داده شوند. این کار با تبدیل تمام انواع سیگنال به فرم لاپلاس انجام می‌شود. همچنین تابع انتقال یک سیستم با تقسیم تابع انتقال لاپلاس خروجی به تابع انتقال لاپلاس ورودی نمایش داده می‌شود. بنابراین یک دیاگرام بلوکی پایه از یک سیستم کنترل می‌تواند به صورت زیر نمایش داده شود


که در آن r(t) و c(t) به ترتیب توابع زمانی ورودی و خروجی سیگنال هستند.

روش‌های بدست آوردن تابع انتقال

دو روش اصلی برای بدست آوردن تابع انتقال برای سیستم کنترل وجود دارد. این روش‌ها عبارتند از:

• روش دیاگرام بلوکی: برای یک سیستم کنترل پیچیده، بدست آوردن تابع انتقال کامل غیرعملی است. بنابراین تابع انتقال هر عنصر از سیستم کنترل با یک دیاگرام بلوکی نمایش داده می‌شود. تکنیک‌های کاهش دیاگرام بلوکی برای بدست آوردن تابع انتقال مورد نظر اعمال می‌شوند.

• گراف‌های جریان سیگنال: فرم تغییر یافته یک دیاگرام بلوکی، یک گراف جریان سیگنال است. دیاگرام بلوکی یک تصویرسازی از سیستم کنترل است. گراف جریان سیگنال نمایش سیستم کنترل را مختصر می‌کند.

قطب‌ها و صفرهای تابع انتقال

به طور کلی، یک تابع می‌تواند به فرم چندجمله‌ای نمایش داده شود. به عنوان مثال،

حال به طور مشابه تابع انتقال یک سیستم کنترل نیز می‌تواند به صورت زیر نمایش داده شود

که در آن K به عنوان عامل بهره تابع انتقال شناخته می‌شود.

حال در تابع فوق اگر s = z1 یا s = z2 یا s = z3، ...، s = zn باشد، مقدار تابع انتقال صفر می‌شود. این z1، z2، z3، ...، zn ریشه‌های چندجمله‌ای صورت هستند. چون برای این ریشه‌ها چندجمله‌ای صورت، تابع انتقال صفر می‌شود، این ریشه‌ها به عنوان صفرهای تابع انتقال شناخته می‌شوند.

حالا، اگر s = p1 یا s = p2 یا s = p3، ...، s = pm باشد، مقدار تابع انتقال بی‌نهایت می‌شود. بنابراین ریشه‌های مخرج به عنوان قطب‌های تابع شناخته می‌شوند.

حال بیایید تابع انتقال را در فرم چندجمله‌ای خود بازنویسی کنیم.

حال، فرض کنید s به سمت بی‌نهایت میل می‌کند، چون ریشه‌ها اعداد محدود هستند، می‌توان آن‌ها را نسبت به s بی‌نهایت نادیده گرفت. بنابراین

بنابراین، وقتی s → ∞ و n > m، تابع مقدار بی‌نهایت خواهد داشت، یعنی تابع انتقال دارای قطب‌هایی در s بی‌نهایت است و مرتبه چنین قطب‌هایی n – m است.
همچنین، وقتی s → ∞ و n < m، تابع انتقال مقدار صفر خواهد داشت، یعنی تابع انتقال دارای صفرهایی در s بی‌نهایت است و مرتبه چنین صفرهایی m – n است.

پاداش