Kontrol Sisteminin Aktarım Fonksiyonu
Bir aktarım fonksiyonu bir kontrol sisteminin çıkış sinyali ile giriş sinyali arasındaki ilişkiyi, tüm olası giriş değerleri için temsil eder. Blok diyagramı, aktarım fonksiyonunu temsil etmek için blokları ve çeşitli giriş ve çıkış sinyallerini temsil etmek için okları kullanarak kontrol sistemini görsel olarak gösterir.
Herhangi bir kontrol sistemi için, sebep veya tetikleyici olarak bilinen bir referans girişi vardır. Bu, aktarım işlemi (yani aktarım fonksiyonu) aracılığıyla çalışır ve kontrol edilen çıkış veya tepkiye neden olan bir etki üretir.
Bu nedenle, çıkış ve giriş arasındaki sebep-sonuç ilişkisi, bir aktarım fonksiyonu aracılığıyla birbirine bağlıdır.
Bir Laplace Dönüşümü'nda, eğer giriş R(s) ve çıkış C(s) ile gösterilirse, o zaman aktarım fonksiyonu şöyledir:
Yani, sistemin aktarım fonksiyonu giriş fonksiyonu ile çarpıldığında, sistemin çıkış fonksiyonunu verir.
Bir Aktarım Fonksiyonu Nedir
Kontrol sisteminin aktarım fonksiyonu, çıkış değişkeninin Laplace dönüşümünün, giriş değişkeninin Laplace dönüşümüne oranı olarak tanımlanır ve tüm başlangıç koşullarının sıfır olduğu varsayılır.
Bir kontrol sisteminin aktarım fonksiyonunu belirlemek için prosedür şu şekildedir:
Sistemin denklemlerini oluştururuz.
Şimdi sistemin denklemlerinin Laplace dönüşümünü alırız, başlangıç koşullarını sıfır olarak kabul ederek.
Sistem girişini ve çıkışını belirtiriz.
Son olarak, çıkışın Laplace dönüşümünün girişin Laplace dönüşümüne oranını alırız, bu da aranan aktarım fonksiyonudur.
Bir kontrol sisteminin giriş ve çıkışı aynı kategoriye sahip olması gerekmez. Örneğin, elektrik motorlarında giriş elektrik sinyali iken çıkış mekanik sinyaldir çünkü motorları döndürmek için elektrik enerjisi gereklidir. Benzer şekilde, bir elektrik jeneratöründe giriş mekanik sinyal ve çıkış elektrik sinyalidir, çünkü bir jeneratörde elektrik üretebilmek için mekanik enerji gereklidir.
Ancak, bir sistemin matematiksel analizi için, tüm tür sinyaller benzer bir biçimde temsil edilmelidir. Bu, tüm tür sinyallerin Laplace formuna dönüştürülerek yapılır. Ayrıca, bir sistemin aktarım fonksiyonu, giriş Laplace dönüşümüne bölünerek çıkış Laplace dönüşümüyle temsil edilir. Bu nedenle, bir kontrol sisteminin temel blok diyagramı şöyle temsil edilebilir
Burada r(t) ve c(t), sırasıyla giriş ve çıkış sinyalinin zaman domenindeki fonksiyonlarıdır.
Aktarım Fonksiyonu Elde Etme Yöntemleri
Bir kontrol sistemi için aktarım fonksiyonunu elde etmenin iki ana yolu vardır. Bu yollar şunlardır:
Blok Diyagram Yöntemi: Karmaşık bir kontrol sisteminin tam aktarım fonksiyonunu türetmek uygun değildir. Bu nedenle, bir kontrol sisteminin her elemanının aktarım fonksiyonu bir blok diyagramı ile temsil edilir. Blok diyagramı indirgeme teknikleri uygulanarak, istenen aktarım fonksiyonu elde edilir.
Sinyal Akış Grafikleri: Blok diyagramın değiştirilmiş biçimi bir sinyal akış grafiğidir. Blok diyagram, bir kontrol sistemini görsel olarak temsil eder. Sinyal akış grafiği, bir kontrol sisteminin temsilini daha da kısaltır.
Aktarım Fonksiyonunun Pol ve Sıfırları
Genellikle, bir fonksiyon polinom şeklinde temsil edilebilir. Örneğin,
Şimdi benzer şekilde, bir kontrol sisteminin aktarım fonksiyonu da aşağıdaki gibi temsil edilebilir
Burada K, aktarım fonksiyonun kazancı olarak bilinir.
Şimdi yukarıdaki fonksiyonda, eğer s = z1, veya s = z2, veya s = z3,….s = zn, ise aktarım fonksiyonun değeri sıfır olur. Bu z1, z2, z3,….zn, sayıları, pay polinomun kökleridir. Bu kökler için pay polinomun aktarım fonksiyonu sıfır olduğundan, bu kökler aktarım fonksiyonun sıfırları olarak adlandırılır.
Şimdi, eğer s = p1, veya s = p2, veya s = p3,….s = pm, ise aktarım fonksiyonun değeri sonsuz olur. Böylece, paydanın kökleri fonksiyonun polü olarak adlandırılır.
Şimdi, aktarım fonksiyonunu polinom formunda yeniden yazalım.
Şimdi, s'nin sonsuza yaklaştığını düşünelim, çünkü kökler sonlu sayılar olduklarından, onlar sonsuz s'ye kıyasla ihmal edilebilir. Dolayısıyla
Dolayısıyla, s → ∞ ve n > m olduğunda, fonksiyonun değeri de sonsuz olacaktır, bu, aktarım fonksiyonunun sonsuz s'da polü olduğunu ve bu polün çokluğu ya da derecesinin n – m olduğunu gösterir.
Yine, s → ∞ ve n < m olduğunda, aktarım fonksiyonun değeri sıfır olacaktır, bu, aktarım fonksiyonunun sonsuz s'da sıfırı olduğunu ve bu sıfırın çokluğu ya da derecesinin m – n olduğunu gösterir.
Aktarım Fonksiyonu Kavramı
Aktarım fonksiyonu genellikle Laplace Dönüşümü ile ifade edilir ve bir sistemin giriş ve çıkış arasındaki ilişkiyi temsil eder. Bir sistemin serili bağlı bir direnç (R) ve endüktans (L) içeren bir gerilim kaynağı (V) üzerinden düşünelim.
