ਫੁਰੀਅਰ ਸਿਰੀਜ਼ ਅਤੇ ਫੁਰੀਅਰ ਟਰਨਸਫਾਰਮ

کبھی کبھی وقت دومیں تمام معلومات کافی نہ ہوتیں۔ اس سے ہمیں سگنل کی فریکوئنسی دومیں زیادہ معلومات حاصل کرنے کے لئے جانے پڑتے ہیں۔ اس تبدیلی کو تبدیلی کہا جاتا ہے۔ وقت سے فریکوئنسی دومیں سگنل کی دومیں تبدیل کرنے کے لئے ہمیں کئی اوزار ملتے ہیں۔ فوریئر سیریز اور فوریئر تبدیلی دونوں اوزار ہیں جہاں ہم سگنل کو ہارمونک طور پر متعلقہ سائنوسائڈس میں ٹکڑے کرتے ہیں۔ ایسی ٹکڑی کے ساتھ، سگنل کو فریکوئنسی دومیں ظاہر کیا جاتا ہے۔
زیادہ تر عملی سگنل کو سائنوسائڈس میں ٹکڑے کیا جا سکتا ہے۔ ایسی ٹکڑی کو فوریئر سیریز کہا جاتا ہے۔

فریکوئنسی تجزیہ

جیسے سفید روشنی کو سات رنگوں میں ٹکڑے کیا جا سکتا ہے، ویسا ہی ایک مخصوص سگنل کو بھی ہارمونک طور پر متعلقہ فریکوئنسیوں کے لینیئر وزن شدہ مجموعہ میں ٹکڑے کیا جا سکتا ہے۔ یہ لینیئر وزن شدہ ہارمونک طور پر متعلقہ سائنوسائڈس یا مختلط اکسپونینشیل کو فوریئر سیریز یا تبدیلی کہا جاتا ہے۔ عام طور پر، کسی بھی سگنل کو اپنی فریکوئنسی متعلقہ کامپوننٹس میں ٹکڑے کرنے کو فریکوئنسی تجزیہ کہا جاتا ہے۔ روشنی کی تجزیہ کرنے کے طور پر رنگوں میں فریکوئنسی تجزیہ کی صورت ہوتا ہے، اسی طرح فوریئر سیریز اور فوریئر تبدیلی بھی فریکوئنسی تجزیہ کے اوزار ہیں۔

یہ نیچے والے سے واضح ہوگا۔
فرض کریں کہ ہم کسی روشنی کو پرزم سے گزار دیتے ہیں، تو یہ سات رنگوں میں تقسیم ہو جاتی ہے VIBGYOR۔ ہر رنگ کی خاص فریکوئنسی یا فریکوئنسیوں کا کسی حد تک رینج ہوتا ہے۔ اسی طرح، اگر ہم کسی مخصوص سگنل کو فوریئر اوزار سے گزار دیں، جو پرزم کا کام کرتا ہے، تو سگنل کو فوریئر سیریز میں ٹکڑے کیا جاتا ہے۔

سگنلز اور ویکٹرز کی آنالوجی

ایک N ڈائیمینشنل ویکٹر کے لئے N ڈائیمینشن کی ضرورت ہوتی ہے۔ جیسے کسی میز پر چلنے والا کیڑا کے لئے اپنی پوزیشن کو ظاہر کرنے کے لئے دو ڈائیمینشن کی ضرورت ہوتی ہے یعنی x اور y۔ ہم i، j، k کوآرڈینیٹ سسٹم سے ویکٹر کی تین ڈائیمینشن میں ظاہر کرنے کے لئے واقف ہیں۔ یہ یونٹ ویکٹر i، j اور k آپس میں آرٹھوگونل ہوتے ہیں۔ اسی طرح اگر ہم کسی سگنل کو ملٹی ڈائیمینشنل ویکٹر کے طور پر سمجھتے ہیں تو ہمیں آپس میں آرٹھوگونل کئی ڈائیمینشن کی ضرورت ہوتی ہے۔ یہ J. B. J. فوریئر کا ژنیئر تھا جس نے آپس میں آرٹھوگونل کئی ڈائیمینشن بنائے۔ یہ ہارمونک طور پر متعلقہ سائنوسائڈس یا مختلط اکسپونینشیل ہیں۔ درج ذیل ڈائیمینشن (جو کہ بیسس بھی کہلاتے ہیں) کو دیکھیں
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
اس طرح، تمام sinnω0t Sinmω0t (n≠m) کے آرٹھوگونل ہوتے ہیں اور ہم، اس لئے sinω0t، sin2ω0t… ∞ کو مخصوص ڈائیمینشن (جو کہ بیسس بھی کہلاتے ہیں) کے طور پر استعمال کر سکتے ہیں تاکہ مخصوص سگنل کو ظاہر کریں۔ اسی طرح، ہم cosω0t، cos2ω0t، cos3ω0t… ∞ کو بھی اضافی ڈائیمینشن کے طور پر استعمال کر سکتے ہیں جب sinω0t ڈائیمینشن کا استعمال نہ کیا جا سکے۔ ہم دیکھیں گے کہ صرف کوسائن ٹرمز سمتیہ سگنل کے لئے مناسب ہوں گے اور صرف سائن ٹرمز غیر سمیتہ سگنل کے لئے مناسب ہوں گے۔ مخصوص سگنل کے لئے نہ سمیتہ نہ غیر سمیتہ، ہم سائن اور کوسائن دونوں ٹرمز کا استعمال کرتے ہیں۔

نوٹ
صرف مخصوص سگنل کو فوریئر سیریز کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے جبکہ سگنل دیریکلیٹ کی شرائط کا پیروکار ہو۔ غیر مخصوص سگنل کے لئے، ہمیں فوریئر تبدیلی کا اوزار ہوتا ہے جو سگنل کو وقت سے فریکوئنسی دومیں تبدیل کرتا ہے۔
سگنل کو اپنی ہارمونک طور پر متعلقہ فریکوئنسیوں میں ٹکڑے کرنے کو فوریئر تجزیہ کہا جاتا ہے جبکہ اس کا الٹ، یعنی دوبارہ جوڑنا، فوریئر سنسیز کہلاتا ہے۔

دیریکلیٹ کی شرائط

x (t) کسی بھی دوران میں مطلقاً انٹیگریبل ہے، یعنی،

x (t) کسی بھی محدود t کے دوران میں محدود تعداد میں ماکسیما اور مینیما ہوتے ہیں۔
x (t) کسی بھی محدود t کے دوران میں محدود تعداد میں ڈسکنٹینوٹیز ہوتی ہیں، اور یہ ڈسکنٹینوٹیز محدود ہوتی ہیں۔
نوت کریں کہ دیریکلیٹ کی شرائط فوریئر سیریز کی نمائندگی کے لئے کافی ہیں لیکن ضروری نہیں ہیں۔

Statement: Respect the original, good articles worth sharing, if there is infringement please contact delete.