Фуриерова редица и Фуриерово преобразование

Понякога всичка информация във времевата област не е достатъчна. Това ни кара да преминаваме към честотната област на сигнала за извличане на допълнителна информация за сигнала. Този преход от една област към друга се нарича трансформация. За промяна на областта на сигнала от време към честота разполагаме с много инструменти. Ред на Фурие и Трансформация на Фурие са два от инструментите, с които декомпозираме сигнала в хармонично свързани синусоиди. С такава декомпозиция, сигнала се счита, че е представен в честотната област.
Повечето практически сигнали могат да бъдат декомпозирани в синусоиди. Такава декомпозиция на периодични сигнали се нарича ред на Фурие.

Честотен анализ

Както бялата светлина може да бъде декомпозирана в седем цвята, така и периодичният сигнал може да бъде декомпозиран в линейно тегловна сума от хармонично свързани честоти. Тази линейно тегловна сума от хармонично свързани синусоиди или комплексни експоненти се нарича Ред на Фурие или Трансформация на Фурие. Общо взето, декомпозицията на всеки сигнал в неговите честотни компоненти се нарича честотен анализ. Анализът на светлината в цветове всъщност е форма на честотен анализ, затова редът на Фурие и трансформацията на Фурие са също инструменти за честотен анализ.

Това може да стане по-ясно от следното.
Да предположим, че пропуснем светлина през призма, тя се разделя на седем цвята VIBGYOR. Всякъв цвят има определена честота или диапазон честоти. По същия начин, ако пропуснем периодичен сигнал през инструмент на Фурие, който играе ролята на призма, сигнала се декомпозира в ред на Фурие.

Аналогия между сигнали и вектори

N-мерен вектор изисква N-мерия за своето представяне. Както мравка, движеща се по маса, изисква две измерения за представяне на своето положение на масата, тоест x и y. Освен това сме запознати с координатната система i, j, k за представяне на вектор в три измерения. Тези единични вектори i, j и k са ортогонални помежду си. По същия начин, ако третираме сигнала като многомерен вектор, ни са необходими много повече измерения, които са ортогонални помежду си. Беше гениалността на J. B. J. Fourier, който изобрети многомерни пространства, които са ортогонални помежду си. Те са синусоиди с хармонично свързани синусоиди или комплексни експоненти. Рассмотрете измеренията (също наречени базиси)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
По този начин, всички sinnω0t са ортогонални с Sinmω0t (n≠m) и затова можем да използваме sinω0t, sin2ω0t… ∞ като основни измерения (също наречени базиси) за изразяване на периодичен сигнал. Подобно, можем да използваме и cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ като допълнителни измерения, когато измеренията sinω0t не могат да бъдат използвани. Ще видим, че за четни сигнали само косинусните членове ще бъдат подходящи, а за нечетни сигнали само синусните членове ще бъдат подходящи. За периодичен сигнал, който не е ни четен, ни нечетен, използваме както синус, така и косинусни членове.

ЗАБЕЛЕЖКА
Само периодични сигнали могат да бъдат представени като ред на Фурие, при условие, че сигналът спазва условията на Дирихле. За непериодични сигнали разполагаме с инструмента трансформация на Фурие, който преобразува сигнала от времева област в честотна област.
Разделението на сигнала в неговите хармонично свързани честоти се нарича анализ на Фурие, докато обратното, тоест рекомбинацията, се нарича синтез на Фурие.

Условия на Дирихле

x (t) е абсолютно интегруемо във всяка периода, тоест,

x (t) има краен брой максимуми и минимуми във всяко крайно интервал от t.
x (t) има краен брой прекъсвания във всяко крайно интервал от t, и всички тези прекъсвания са крайни.
Забележете, че условията на Дирихле са достатъчни, но не и необходими условия за представяне на реда на Фурие.

Изявление: Почитайте оригиналните, добри статии са стойни за споделяне, ако има нарушение на правата върху авторското право, моля се обратете за изтриване.