سری فوریه و تبدیل فوریه

گاهی اوقات تمام اطلاعات در حوزه زمان کافی نیست. این موضوع ما را به حوزه فرکانس سیگنال برای استخراج اطلاعات بیشتر درباره سیگنال هدایت می‌کند. این حرکت از یک حوزه به حوزه دیگر به عنوان تبدیل شناخته می‌شود. برای تغییر حوزه سیگنال از زمان به فرکانس، ابزارهای متعددی در اختیار داریم. سری فوریه و تبدیل فوریه دو از این ابزارها هستند که در آنها سیگنال به سینوس‌های مرتبط با هارمونی تجزیه می‌شود. با چنین تجزیه‌ای، سیگنال به طوری که در حوزه فرکانس نمایش داده می‌شود.
بیشتر سیگنال‌های عملی می‌توانند به سینوس‌ها تجزیه شوند. چنین تجزیه‌ای از سیگنال‌های متناوب به سری فوریه معروف است.

تحلیل فرکانس

همانطور که نور سفید می‌تواند به هفت رنگ تجزیه شود، یک سیگنال متناوب نیز می‌تواند به مجموع وزنی خطی از فرکانس‌های مرتبط هارمونیک تجزیه شود. این مجموع وزنی خطی از سینوس‌ها یا نمایی‌های مختلط به عنوان سری فوریه یا تبدیل فوریه شناخته می‌شود. به طور کلی، تجزیه هر سیگنال به مولفه‌های مرتبط با فرکانس به عنوان تحلیل فرکانس شناخته می‌شود. مانند تجزیه نور به رنگ‌ها که در واقع یک نوع تحلیل فرکانس است، بنابراین سری فوریه و تبدیل فوریه نیز ابزارهای تحلیل فرکانس هستند.

این موضوع از مثال زیر واضح‌تر خواهد شد.
فرض کنید اگر نور را از طریق یک منشور عبور دهیم، به هفت رنگ VIBGYOR تقسیم می‌شود. هر رنگ دارای فرکانس خاص یا محدوده فرکانس خاصی است. به همین ترتیب، اگر یک سیگنال متناوب را از طریق یک ابزار فوریه که نقش منشور را بازی می‌کند عبور دهیم، سیگنال به یک سری فوریه تجزیه می‌شود.

شباهت سیگنال‌ها و بردارها

یک بردار N بعدی نیاز به N بعد برای نمایش دارد. مانند یک مورچه که روی یک میز حرکت می‌کند و نیاز به دو بعد برای نمایش موقعیت خود روی میز دارد یعنی x و y. همچنین با سیستم مختصات i, j, k برای نمایش یک بردار در سه بعد آشنا هستیم. این بردارهای واحد i, j و k با یکدیگر عمود هستند. به همین ترتیب اگر یک سیگنال را به عنوان یک بردار چندبعدی در نظر بگیریم، نیاز به بسیاری از ابعاد که با یکدیگر عمود هستند داریم. این ابعاد (همچنین به عنوان پایه‌ها شناخته می‌شوند) سینوس‌هایی با فرکانس‌های هارمونیک یا نمایی‌های مختلط هستند. در نظر بگیرید ابعاد (همچنین به عنوان پایه‌ها شناخته می‌شوند)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
بنابراین، تمام sinnω0t با Sinmω0t (n≠m) عمود هستند و ما بنابراین می‌توانیم از sinω0t, sin2ω0t… ∞ به عنوان ابعاد اصلی (همچنین به عنوان پایه‌ها شناخته می‌شوند) برای بیان یک سیگنال متناوب استفاده کنیم. به همین ترتیب، می‌توانیم از cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ به عنوان ابعاد اضافی استفاده کنیم زمانی که ابعاد sinω0t قابل استفاده نیستند. خواهیم دید که برای سیگنال‌های زوج فقط جملات کسینوسی مناسب هستند و برای سیگنال‌های فرد فقط جملات سینوسی مناسب هستند. برای یک سیگنال متناوب نه زوج و نه فرد، از هر دو جمله سینوسی و کسینوسی استفاده می‌کنیم.

توجه
فقط سیگنال‌های متناوب می‌توانند به صورت سری فوریه نمایش داده شوند به شرطی که سیگنال شرایط دیریکله را رعایت کند. برای سیگنال‌های غیرمتناوب، ابزار تبدیل فوریه وجود دارد که سیگنال را از حوزه زمان به حوزه فرکانس تبدیل می‌کند.
تجزیه سیگنال به فرکانس‌های مرتبط هارمونیک به عنوان تحلیل فوریه شناخته می‌شود در حالی که معکوس آن یعنی ترکیب مجدد، به عنوان سنتز فوریه شناخته می‌شود.

شرایط دیریکله

x (t) به طور مطلق در هر دوره قابل انتگرال‌گیری است، یعنی،

x (t) تعداد محدودی از ماکسیمم‌ها و مینیمم‌ها در هر بازه محدود t دارد.
x (t) تعداد محدودی از ناپیوستگی‌ها در هر بازه محدود t دارد و هر یک از این ناپیوستگی‌ها محدود هستند.
توجه داشته باشید که شرایط دیریکله شرایط کافی اما لازم برای نمایش سری فوریه نیستند.

بیانیه: احترام به متن اصلی، مقالات خوبی که ارزش به اشتراک گذاری دارند، اگر نقض حق تکثیر وجود دارد لطفاً تماس بگیرید تا حذف شود.