Fourierreeks en Fouriertransformatie

Soms is alle informatie in het tijdsdomein niet voldoende. Dit brengt ons ertoe om naar het frequentiedomein van het signaal te gaan om meer informatie over het signaal te verkrijgen. Deze verplaatsing van een domein naar een ander domein wordt transformatie genoemd. Voor het veranderen van het domein van het signaal van tijd naar frequentie hebben we veel hulpmiddelen. Fourierreeks en Fouriertransformatie zijn twee van de hulpmiddelen waarmee we het signaal ontleden in harmonisch gerelateerde sinusoiden. Met deze ontleding wordt een signaal gezegd in het frequentiedomein te worden weergegeven.
De meeste praktische signalen kunnen worden ontbonden in sinusoiden. Zo'n ontleding van periodieke signalen wordt een Fourierreeks genoemd.

Frequentieanalyse

Net zoals wit licht kan worden ontbonden in zeven kleuren, kan ook een periodiek signaal worden ontbonden in een lineaire gewogen som van harmonisch gerelateerde frequenties. Deze lineaire gewogen som van harmonisch gerelateerde sinusoiden of complexe exponentiëlen wordt Fourierreeks of -transformatie genoemd. In het algemeen wordt de ontleding van elk signaal in zijn frequentiegerelateerde componenten frequentieanalyse genoemd. Net zoals de analyse van licht in kleuren eigenlijk een vorm van frequentieanalyse is, zijn de Fourierreeks en Fouriertransformatie ook hulpmiddelen voor frequentieanalyse.

Dit wordt duidelijker uit het volgende.
Stel dat we licht door een prisma laten gaan, dan splijt het op in zeven kleuren VIBGYOR. Elke kleur heeft een bepaalde frequentie of een bereik van frequenties. Op dezelfde manier, als we een periodiek signaal door een Fouriertool laten gaan, dat de rol van prisma speelt, wordt het signaal ontbonden in een Fourierreeks.

Signalen en vectoren analogie

Een N-dimensionale vector heeft N dimensies nodig voor zijn weergave. Net zoals een mier die over een tafel beweegt, twee dimensies nodig heeft voor de weergave van zijn positie op de tafel, namelijk x en y. Ook zijn we bekend met het i, j, k coördinatensysteem voor de weergave van een vector in drie dimensies. Deze eenheidsvectoren i, j en k staan loodrecht op elkaar. Op dezelfde manier, als we een signaal behandelen als een multidimensionale vector, hebben we veel meer dimensies nodig die loodrecht op elkaar staan. Het was de genie van J. B. J. Fourier die meerdere dimensies uitvond, die loodrecht op elkaar staan. Dit zijn sinusoiden met harmonisch gerelateerde sinusoiden of complexe exponentiëlen. Overweeg de dimensies (ook wel basisfuncties genoemd)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
Zodoende staan alle sinnω0t loodrecht op Sinmω0t (n≠m) en we kunnen daarom sinω0t, sin2ω0t… ∞ gebruiken als primaire dimensies (ook wel basisfuncties genoemd) om een periodiek signaal weer te geven. Op dezelfde manier kunnen we ook cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ gebruiken als extra dimensies wanneer sinω0t dimensies niet kunnen worden gebruikt. We zullen zien dat voor even signalen alleen cosinus termen geschikt zijn en voor oneven signalen alleen sinus termen geschikt zijn. Voor een periodiek signaal dat noch even noch oneven is, gebruiken we zowel sinus- als cosinus-termen.

OPMERKING
Alleen periodieke signalen kunnen worden weergegeven als Fourierreeks, mits het signaal voldoet aan de voorwaarden van Dirichlet. Voor niet-periodieke signalen hebben we het Fouriertool waarmee het signaal van het tijdsdomein naar het frequentiedomein wordt getransformeerd.
De ontbinding van een signaal in zijn harmonisch gerelateerde frequenties staat bekend als Fourieranalyse, terwijl de inverse, oftewel de hercombinatie, bekend staat als Fouriersynthese.

Voorwaarden van Dirichlet

x (t) is absoluut integreerbaar over elke periode, dat wil zeggen,

x (t) heeft een eindig aantal maxima en minima binnen elke eindige interval van t.
x (t) heeft een eindig aantal discontinuïteiten binnen elke eindige interval van t, en elk van deze discontinuïteiten zijn eindig.
Let op: de voorwaarden van Dirichlet zijn voldoende, maar geen noodzakelijke voorwaarden voor de Fourierreeksrepresentatie.

Verklaring: Eerbiedig het originele, goede artikelen zijn de moeite waard om te delen, indien er sprake is van schending van auteursrechten, neem dan contact op om te verwijderen.