Szereg Fouriera i transformata Fouriera

Czasem informacje w dziedzinie czasu nie są wystarczające. To zmusza nas do przejścia do dziedziny częstotliwości sygnału, aby uzyskać więcej informacji o sygnale. To przemieszczenie z jednej dziedziny do drugiej nazywane jest transformacją. Aby zmienić dziedzinę sygnału z czasowej na częstotliwościową, mamy wiele narzędzi. Szereg Fouriera i Transformata Fouriera to dwa z tych narzędzi, w których rozkładamy sygnał na harmonicznie powiązane sinusoidy. Z takim rozkładem sygnał uznawany jest za reprezentowany w dziedzinie częstotliwości.
Większość praktycznych sygnałów może być rozłożona na sinusoidy. Taki rozkład sygnałów okresowych nazywany jest szeregiem Fouriera.

Analiza częstotliwościowa

Tak jak biały światło można rozłożyć na siedem kolorów, sygnał okresowy można również rozłożyć na liniowo ważoną sumę harmonicznie powiązanych częstotliwości. Ta liniowo ważona suma harmonicznie powiązanych sinusoid lub zespolonych wykładników nazywana jest Szeregiem Fouriera lub Transformatą Fouriera. Ogólnie rzecz biorąc, rozkład dowolnego sygnału na jego składowe związane z częstotliwością nazywany jest analizą częstotliwościową. Analiza światła na kolory jest faktycznie formą analizy częstotliwościowej, stąd szereg Fouriera i transformata Fouriera są także narzędziami analizy częstotliwościowej.

To może być bardziej zrozumiałe z poniższego.
Przyjmijmy, że przepuszczamy światło przez pryzmat, zostaje ono podzielone na siedem kolorów VIBGYOR. Każdy kolor ma określoną częstotliwość lub zakres częstotliwości. Podobnie, jeśli przepuszczamy sygnał okresowy przez narzędzie Fouriera, które pełni rolę pryzmatu, sygnał jest rozłożony na szereg Fouriera.

Analogia między sygnałami a wektorami

Wektor N-wymiarowy potrzebuje N wymiarów do swojej reprezentacji. Tak jak mrówka poruszająca się po stole potrzebuje dwóch wymiarów do reprezentacji swojej pozycji na stole, czyli x i y. Ponadto jesteśmy zaznajomieni z układem współrzędnych i, j, k dla reprezentacji wektora w trzech wymiarach. Te wektory jednostkowe i, j i k są ortogonalne do siebie. Podobnie, jeśli potraktujemy sygnał jako wielowymiarowy wektor, potrzebujemy wielu więcej wymiarów, które są ortogonalne do siebie. Był to geniusz J. B. J. Fouriera, który wynalazł wielowymiarowość, która jest ortogonalna do siebie. Są to sinusoidy z harmonicznie powiązanymi sinusoidami lub zespolonymi wykładnikami. Rozważmy wymiary (zwane również bazami)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
W ten sposób wszystkie sinnω0t są ortogonalne do Sinmω0t (n≠m) i możemy zatem używać sinω0t, sin2ω0t… ∞ jako podstawowych wymiarów (zwanych również bazami) do wyrażenia sygnału okresowego. Podobnie możemy również używać cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ jako dodatkowych wymiarów, gdy wymiary sinω0t nie mogą być użyte. Zobaczymy, że dla sygnałów parzystych będą odpowiednie tylko składniki cosinusowe, a dla sygnałów nieparzystych tylko składniki sinusowe. Dla sygnału okresowego, który nie jest ani parzysty, ani nieparzysty, używamy zarówno składników sinusowych, jak i cosinusowych.

UWAGA
Tylko sygnały okresowe mogą być reprezentowane jako szeregi Fouriera, pod warunkiem, że sygnał spełnia warunki Dirichleta. Dla sygnałów nieokresowych mamy narzędzie transformaty Fouriera, które przekształca sygnał z dziedziny czasowej do dziedziny częstotliwościowej.
Rozdzielanie sygnału na jego harmonicznie powiązane częstotliwości znane jest jako analiza Fouriera, podczas gdy odwrotność, czyli ponowne połączenie, znana jest jako synteza Fouriera.

Warunki Dirichleta

x (t) jest bezwzględnie całkowalny w dowolnym okresie, to jest,

x (t) ma skończoną liczbę maksimów i minimów w dowolnym skończonym przedziale t.
x (t) ma skończoną liczbę nieciągłości w dowolnym skończonym przedziale t, a każda z tych nieciągłości jest skończona.
Zauważ, że warunki Dirichleta są wystarczającymi, ale nie koniecznymi warunkami dla reprezentacji szeregu Fouriera.

Oświadczenie: Szanuj oryginał, dobre artykuły warto dzielić się, w przypadku naruszenia praw autorskich proszę o usunięcie.