سری فوریه و تبدیل فوریه

که نه همه معلومات در دامنه زمان کافی است. این ما را به دامنه فرکانس سیگنال بروزرسانی می‌کند تا اطلاعات بیشتری درباره سیگنال کسب کنیم. این حرکت از یک دامنه به دامنه دیگر به عنوان تحول شناخته می‌شود. برای تغییر دامنه سیگنال از زمان به فرکانس، ابزارهای مختلفی داریم. سری فوریه و تبدیل فوریه دو از این ابزارها هستند که سیگنال را به سینوسی‌های مرتبط با هارمونیک تجزیه می‌کنند. با این تجزیه، سیگنال در دامنه فرکانس نمایش داده می‌شود.
بیشتر سیگنال‌های عملی می‌توانند به سینوسی‌ها تجزیه شوند. چنین تجزیه‌ای از سیگنال‌های متناوب به عنوان سری فوریه شناخته می‌شود.

تحلیل فرکانس

همانطور که نور سفید می‌تواند به هفت رنگ تجزیه شود، یک سیگنال متناوب نیز می‌تواند به جمع وزنی خطی از فرکانس‌های مرتبط هارمونیک تجزیه شود. این جمع وزنی خطی از سینوسی‌ها یا نمایی‌های مختلط به عنوان سری فوریه یا تبدیل فوریه شناخته می‌شود. به طور کلی، تجزیه هر سیگنال به مولفه‌های مرتبط با فرکانس به عنوان تحلیل فرکانس شناخته می‌شود. همانطور که تجزیه نور به رنگ‌ها در واقع یک نوع از تحلیل فرکانس است، بنابراین سری فوریه و تبدیل فوریه نیز ابزارهایی از تحلیل فرکانس هستند.

این موضوع از مثال زیر واضح‌تر خواهد شد.
فرض کنید اگر نور را از طریق یک منشور عبور دهیم، آن به هفت رنگ VIBGYOR تقسیم می‌شود. هر رنگ دارای فرکانس خاص یا محدوده‌ای از فرکانس‌ها است. به همین ترتیب، اگر سیگنال متناوب را از طریق ابزار فوریه (که نقش منشور را بازی می‌کند) عبور دهیم، سیگنال به سری فوریه تجزیه می‌شود.

شباهت بین سیگنال‌ها و بردارها

برای نمایش یک بردار N بعدی، N بعد نیاز است. مانند یک مورچه که روی یک میز می‌درخشد، نیاز به دو بعد برای نمایش موقعیت خود روی میز دارد یعنی x و y. همچنین با سیستم مختصات i, j, k برای نمایش بردار در سه بعد آشنا هستیم. این بردارهای واحد i, j و k به هم عمود هستند. به همین ترتیب، اگر سیگنال را به عنوان یک بردار چندبعدی در نظر بگیریم، نیاز به بسیاری از ابعاد داریم که به هم عمود هستند. این ابعاد (که همچنین پایه‌هایی نامیده می‌شوند) سینوسی‌هایی با فرکانس‌های مرتبط هارمونیک یا نمایی‌های مختلط هستند. در نظر بگیرید ابعاد (همچنین پایه‌هایی نامیده می‌شوند)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
بنابراین، تمام sinnω0t با Sinmω0t (n≠m) عمود هستند و ما بنابراین می‌توانیم از sinω0t, sin2ω0t… ∞ به عنوان ابعاد اصلی (همچنین پایه‌هایی نامیده می‌شوند) برای بیان یک سیگنال متناوب استفاده کنیم. به همین ترتیب، می‌توانیم از cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ به عنوان ابعاد اضافی استفاده کنیم وقتی که ابعاد sinω0t نمی‌توانند استفاده شوند. خواهیم دید که برای سیگنال‌های زوج فقط شرایط کسینوسی مناسب است و برای سیگنال‌های فرد فقط شرایط سینوسی مناسب است. برای یک سیگنال متناوب نه زوج و نه فرد، از هر دو شرایط سینوسی و کسینوسی استفاده می‌کنیم.

توجه
فقط سیگنال‌های متناوب می‌توانند به صورت سری فوریه نمایش داده شوند به شرطی که سیگنال شرایط دیریکله را رعایت کند. برای سیگنال‌های غیرمتناوب، ابزار تبدیل فوریه وجود دارد که سیگنال را از دامنه زمان به دامنه فرکانس تبدیل می‌کند.
تجزیه سیگنال به فرکانس‌های مرتبط هارمونیک به عنوان تحلیل فوریه شناخته می‌شود در حالی که معکوس آن یعنی ترکیب مجدد، به عنوان سنتز فوریه شناخته می‌شود.

شرایط دیریکله

x (t) قابل یکپارچه‌سازی مطلق در هر دوره است، یعنی،

x (t) تعداد محدودی ماکسیمم و مینیمم در هر بازه محدود t دارد.
x (t) تعداد محدودی ناپیوستگی در هر بازه محدود t دارد و هر یک از این ناپیوستگی‌ها محدود است.
توجه داشته باشید که شرایط دیریکله شرایط کافی اما لازم برای نمایش سری فوریه نیستند.

بیانیه: احترام به متن اصلی، مقالات خوبی که ارزش به اشتراک گذاری دارند، اگر نقض حق نشر وجود دارد لطفاً تماس بگیرید تا حذف شود.