Fourier-række og Fourier-transformation

Nogle gange er alle oplysninger i tidsdomænet ikke tilstrækkelige. Dette får os til at gå over til frekvensdomænet for signaler for at udtrække flere oplysninger om signalet. Denne bevægelse fra det ene domæne til det andet kaldes transformation. For at ændre signalets domæne fra tid til frekvens har vi mange værktøjer. Fourier Række og Fourier Transformation er to af de værktøjer, hvor vi opdele signalet i harmonisk relaterede sinusider. Med denne opdeling siges et signal at være repræsenteret i frekvensdomænet.
De fleste praktiske signaler kan opdeles i sinusider. En sådan opdeling af periodiske signaler kaldes en Fourier række.

Frekvensanalyse

Ligesom hvidt lys kan opdeles i syv farver, kan et periodisk signal også opdeles i en lineær vigtet sum af harmonisk relaterede frekvenser. Denne lineære vigtet sum af harmonisk relaterede sinusider eller komplekse eksponentielle kaldes Fourier Række eller Transformation. Generelt kaldes opdelingen af ethvert signal i dets frekvensrelaterede komponenter for frekvensanalyse. Ligesom analyse af et lys i farver faktisk er en form for frekvensanalyse, er Fourier række og Fourier transformation også værktøjer til frekvensanalyse.

Dette kan blive tydeligere ved følgende.
Hvis vi passerer lys igennem et prisme, bliver det opdelt i syv farver VIBGYOR. Hver farve har en bestemt frekvens eller et frekvensområde. På samme måde, hvis vi passerer et periodisk signal igennem et Fourier-værktøj, som spiller prismets rolle, bliver signalet opdelt i en Fourier række.

Signaler og vektor analogi

En N-dimensionel vektor kræver N dimensioner for dens repræsentation. Som en myre, der bevæger sig på et bord, har brug for to dimensioner for at repræsentere sin position på bordet, dvs. x og y. Vi er også bekendt med i, j, k-koordinatsystemet for vektorsrepræsentation i tre dimensioner. Disse enhedsvektorer i, j og k er ortogonale med hinanden. På samme måde, hvis vi behandler et signal som en multidimensional vektor, har vi brug for mange flere dimensioner, som er ortogonale med hinanden. Det var geniet J. B. J. Fourier, der opfandt multidimensioner, som er ortogonale med hinanden. Dette er sinusider med harmonisk relaterede sinusider eller komplekse eksponentielle. Betragt dimensionerne (også kaldet baser)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
Derfor er alle sinnω0t ortogonale med Sinmω0t (n≠m), og vi kan derfor bruge sinω0t, sin2ω0t… ∞ som de primære dimensioner (også kaldet baser) til at udtrykke et periodisk signal. På samme måde kan vi også bruge cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ som de ekstra dimensioner, når sinω0t-dimensioner ikke kan bruges. Vi vil se, at kun kosinus-leddene vil være egnet til lige signaler, og kun sinus-leddene vil være egnet til ulige signaler. For et periodisk signal, som hverken er ulige eller lige, bruger vi både sinus- og kosinus-ledd.

NOTAT
Kun periodiske signaler kan repræsenteres som Fourier rækker, forudsat at signalet følger Dirichlets betingelser. For ikke-periodiske signaler har vi Fourier transform værktøjet, som transformerer signalet fra tidsdomænet til frekvensdomænet.
Opløsning af signal i dets harmonisk relaterede frekvenser kaldes Fourier Analyse, mens det inverse, dvs. rekombination, kaldes Fourier Syntese.

Dirichlets Betingelser

x (t) er absolut integrabel over enhver periode, det vil sige,

x (t) har et endeligt antal maksima og minima inden for ethvert endeligt interval af t.
x (t) har et endeligt antal diskontinuiteter inden for ethvert endeligt interval af t, og hver af disse diskontinuiteter er endelige.
Note, at Dirichlets betingelser er tilstrækkelige, men ikke nødvendige betingelser for Fourier række-repræsentation.

Erklæring: Respektér det originale, godt artikler der fortjener at deles, hvis der sker overtrædelse kontakt os for sletning.