Fourier-sarja ja Fourier-muunnos

Joskus aikajakauman tiedot eivät riitä. Tämä saa meidät siirtymään signaalin taajuusjakaumaan lisätietojen hankkimiseksi. Tämä siirtyminen yhdestä jakaumasta toiseen tunnetaan muunnoksena. Signaalin jakauman muuttamiseksi aikasta taajuuteen meillä on useita työkaluja. Fourier-sarja ja Fourier-muunnos ovat kaksi työkalua, joissa signaali dekomponoidaan harmonisesti liittyviin sinimuotoihin. Tällaisella dekomponoinnilla signaalia kutsutaan esitetyksi taajuusjakaumassa.
Useimmat käytännön signaalit voidaan dekomponoida sinimuotoihin. Tällainen dekomponointi jaksollisista signaaleista kutsutaan Fourier-sarjaksi.

Taajuusanalyysi

Kuten valkoinen valo voidaan dekomponoida seitsemään väriin, myös jaksollinen signaali voidaan dekomponoida lineaariseksi painotetuksi summaksi harmonisesti liittyvistä taajuudesta. Tämä lineaarinen painotettu summa harmonisesti liittyvistä sinimuodoista tai kompleksisista eksponenteista tunnetaan Fourier-sarjana tai -muunnoksena. Yleisesti ottaen minkä tahansa signaalin dekomponointia sen taajuutta koskeviin komponentteihin kutsutaan taajuusanalyysiksi. Valon analysointi väreihin on itse asiassa taajuusanalyysin muoto, joten Fourier-sarja ja Fourier-muunnos ovat myös taajuusanalyysin työkaluja.

Tämä tulee selvemmäksi seuraavasta.
Oletetaan, että laitamme valoa läpi prismaan, se pilkkoutuu seitsemään väriin VIBGYOR. Jokaisella värillä on tietty taajuus tai taajuuden alue. Samalla tavalla, jos laitamme jaksollisen signaalin Fourier-työkalun läpi, joka toimii prisman roolissa, signaali dekomponoidaan Fourier-sarjaksi.

Signaalit ja vektorit analyyttisesti

N-ulotteinen vektori tarvitsee N ulottuvuutta sen esitykseen. Kuten hyönteinen, joka kulkee pöydällä, tarvitsee kaksi ulottuvuutta sen sijainnin esitykseen pöydällä eli x ja y. Olemme myös tuttuja i, j, k-koordinaattijärjestelmän kanssa vektorin esitykseen kolmessa ulottuvuudessa. Nämä yksikkövektorit i, j ja k ovat kohtisuorassa toisiinsa. Samalla tavalla, jos kohtelemme signaalia moniulotteisena vektorina, tarvitsemme paljon enemmän ulottuvuuksia, jotka ovat kohtisuorassa toisiinsa. Se oli J. B. J. Fourierin genialisuus, joka keksi moniulotteiset ulottuvuudet, jotka ovat kohtisuorassa toisiinsa. Nämä ovat sinimuotoja, jotka ovat harmonisesti liittyviä sinimuotoihin tai kompleksisiin eksponentteihin. Harkitse ulottuvuuksia (tai kutsutaan niitä myös pohjivektoreiksi)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
Näin kaikki sinnω0t ovat kohtisuorassa Sinmω0t:n (n≠m) kanssa, ja siksi voimme käyttää sinω0t, sin2ω0t… ∞ ensisijaisten ulottuvuuksien (myös kutsutaan pohjivektoreiksi) esittämiseen jaksollista signaalia. Samalla tavalla voimme myös käyttää cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ lisäulottuvuuksina, kun sinω0t-ulottuvuudet eivät ole käytettävissä. Havaitsemme, että parillisille signaaleille sopivat vain kosinitermit ja parittomille signaaleille vain sinitermit. Parillista eikä paritonta jaksollista signaalia varten käytämme sekä sinia että kosinia.

HUOMIO
Vain jaksollisia signaaleja voidaan esittää Fourier-sarjana, jos signaali noudattaa Dirichletin ehtoja. Epäjaksolisille signaaleille meillä on Fourier-muunnoksen työkalu, joka muuntaa signaalin aikajakaumasta taajuusjakaumaan.
Signaalin dekomponointi sen harmonisesti liittyviin taajuuksiin tunnetaan Fourier-analyysina, kun taas käänteinen, eli uudelleenyhdistäminen, tunnetaan Fourier-synteesina.

Dirichletin ehdot

x (t) on ehdottomasti integroitava minkä tahansa jakson yli, eli,

x (t) on äärellinen maksima- ja minimimäärä minkä tahansa äärellisen t-jakson sisällä.
x (t) on äärellinen epäjatkuvuusmäärä minkä tahansa äärellisen t-jakson sisällä, ja näistä epäjatkuvuuksista kukin on äärellinen.
Huomioi, että Dirichletin ehdot ovat riittäviä, muttei välttämättömiä ehtoja Fourier-sarjan esitykselle.

Lause: Kunnioita alkuperäistä, hyviä artikkeleita on jaettava, jos on loukkausta, ota yhteyttä poistamaan.