Serie de Fourier e transformada de Fourier

A veces, toda a información no dominio do tempo non é suficiente. Isto fános mover ao dominio da frecuencia da sinal para extraer máis información sobre a sinal. Este movemento dun dominio a outro coñécese como transformación. Para cambiar o dominio da sinal do tempo á frecuencia temos moitas ferramentas. A Serie de Fourier e a Transformada de Fourier son dúas das ferramentas nas que descompoñemos a sinal en sinusoides relacionados harmónicamente. Con tal descomposición, dise que a sinal está representada no dominio da frecuencia.
A maioría das sinais prácticas poden descompoñerse en sinusoides. Tal descomposición de sinais periódicos chámase Serie de Fourier.

Análise de Frecuencia

Así como unha luz branca pode descompoñerse en sete cores, unha sinal periódica tamén pode descompoñerse nunha suma linear ponderada de frecuencias relacionadas harmónicamente. Esta suma linear ponderada de sinusoides ou exponenciais complexas relacionadas harmónicamente coñécese como Serie de Fourier ou Transformada de Fourier. En xeral, a descomposición de calquera sinal nos seus componentes relacionados con a frecuencia chámase análise de frecuencia. Como a análise dunha luz en cores é, de feito, unha forma de análise de frecuencia, a Serie de Fourier e a Transformada de Fourier tamén son ferramentas de análise de frecuencia.

Isto pode quedar máis claro co seguinte.
Supóñase que pasamos unha luz a través dun prisma, esta se divide en sete cores VIBGYOR. Cada cor ten unha frecuencia particular ou un rango de frecuencias. Do mesmo modo, se pasamos unha sinal periódica a través dunha ferramenta de Fourier, que xoga o papel de prisma, a sinal descompónese nunha Serie de Fourier.

Analogía entre Sinais e Vectores

Un vector de N dimensións precisa N dimensións para a súa representación. Como unha formiga que se move nunha mesa precisa dúas dimensións para a representación da súa posición na mesa, isto é, x e y. Tamén estamos familiarizados co sistema de coordenadas i, j, k para a representación dun vector en tres dimensións. Estes vectores unitarios i, j e k son ortogonais entre si. Do mesmo modo, se tratamos unha sinal como un vector multidimensional, precisamos moitas máis dimensións que sexan ortogonais entre si. Foi o xénio de J. B. J. Fourier quen inventou múltiples dimensións, que son ortogonais entre si. Estas son sinusoides con sinusoides relacionados harmónicamente ou exponenciais complexas. Consideremos as dimensións (tamén chamadas bases)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
Así, todos os sinnω0t son ortogonais con Sinmω0t (n≠m) e, polo tanto, podemos usar sinω0t, sin2ω0t… ∞ como as dimensións primarias (tamén chamadas bases) para expresar unha sinal periódica. De maneira semellante, tamén podemos usar cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ como dimensións adicionais cando as dimensións sinω0t non poidan ser usadas. Veremos que para sinais pares só os termos coseno serán adecuados e para sinais impares só os termos seno serán adecuados. Para unha sinal periódica que non é nin par nin impar, usamos ambos, os termos seno e coseno.

NOTA
Só as sinais periódicas poden representarse como Serie de Fourier, sempre que a sinal siga as condicións de Dirichlet. Para sinais non periódicas, temos a ferramenta de Transformada de Fourier que transforma a sinal do dominio do tempo ao dominio da frecuencia.
A resolución da sinal nas súas frecuencias relacionadas harmónicamente coñécese como Análise de Fourier, mentres que a inversa, isto é, a recombinación, coñécese como Síntese de Fourier.

Condicións de Dirichlet

x (t) é absolutamente integrable sobre calquera período, isto é,

x (t) ten un número finito de máximos e mínimos dentro de calquera intervalo finito de t.
x (t) ten un número finito de discontinuidades dentro de calquera intervalo finito de t, e cada unha destas discontinuidades son finitas.
Nota que as condicións de Dirichlet son condicións suficientes pero non necesarias para a representación da Serie de Fourier.

Declaración Respeita o orixinal artigos bons merecen ser compartidos se hai algún dereito de autor por favor contacta para eliminar