Fourierreihe und Fourier-Transformation

Manchmal reicht die Information im Zeitbereich nicht aus. Dies führt dazu, dass wir in den Frequenzbereich des Signals wechseln, um weitere Informationen über das Signal zu erhalten. Dieser Wechsel von einem Bereich zum anderen wird als Transformation bezeichnet. Um den Bereich eines Signals von der Zeit in die Frequenz zu ändern, haben wir viele Werkzeuge. Fourierreihe und Fouriertransformation sind zwei dieser Werkzeuge, mit denen wir das Signal in harmonisch verwandte Sinusfunktionen zerlegen. Mit solcher Zerlegung wird ein Signal im Frequenzbereich dargestellt.
Die meisten praktischen Signale können in Sinusfunktionen zerlegt werden. Eine solche Zerlegung periodischer Signale wird als Fourierreihe bezeichnet.

Frequenzanalyse

Genauso wie ein weißes Licht in sieben Farben zerlegt werden kann, kann auch ein periodisches Signal in eine linear gewichtete Summe harmonisch verwandter Frequenzen zerlegt werden. Diese linear gewichtete Summe harmonisch verwandter Sinusfunktionen oder komplexer Exponentialfunktionen wird als Fourierreihe oder -transformation bezeichnet. Im Allgemeinen wird die Zerlegung eines beliebigen Signals in seine frequenzbezogenen Komponenten als Frequenzanalyse bezeichnet. Die Analyse eines Lichts in Farben ist tatsächlich eine Form der Frequenzanalyse. Daher sind Fourierreihe und Fouriertransformation ebenfalls Werkzeuge der Frequenzanalyse.

Dies wird anhand des folgenden Beispiels klarer.
Stellen Sie sich vor, wir leiten ein Licht durch ein Prisma, es spaltet sich in sieben Farben VIBGYOR auf. Jede Farbe hat eine bestimmte Frequenz oder einen Frequenzbereich. Auf die gleiche Weise, wenn wir ein periodisches Signal durch ein Fourier-Werkzeug leiten, das die Rolle des Prismas spielt, wird das Signal in eine Fourierreihe zerlegt.

Signale und Vektoren Analogie

Ein N-dimensionaler Vektor benötigt N Dimensionen für seine Darstellung. Gleich wie eine Ameise, die auf einem Tisch kriecht, zwei Dimensionen benötigt, um ihre Position auf dem Tisch darzustellen, also x und y. Auch sind wir mit dem i, j, k-Koordinatensystem für die Darstellung eines Vektors in drei Dimensionen vertraut. Diese Einheitsvektoren i, j und k stehen orthogonal zueinander. Auf die gleiche Weise, wenn wir ein Signal als mehrdimensionalen Vektor betrachten, benötigen wir viele mehr Dimensionen, die orthogonal zueinander stehen. Es war das Genie von J. B. J. Fourier, der mehrere Dimensionen erdacht hat, die orthogonal zueinander stehen. Dies sind Sinusfunktionen mit harmonisch verwandten Sinusfunktionen oder komplexen Exponentialfunktionen. Betrachten wir die Dimensionen (auch Basen genannt)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
Daher sind alle sinnω0t orthogonal zu Sinmω0t (n≠m), und wir können daher sinω0t, sin2ω0t… ∞ als primäre Dimensionen (auch Basen genannt) verwenden, um ein periodisches Signal auszudrücken. Ebenso können wir auch cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ als zusätzliche Dimensionen verwenden, wenn die sinω0t-Dimensionen nicht verwendet werden können. Wir werden sehen, dass nur Kosinus-Terme für gerade Signale geeignet sind und nur Sinus-Terme für ungerade Signale. Für ein periodisches Signal, das weder gerade noch ungerade ist, verwenden wir sowohl Sinus- als auch Kosinus-Terme.

HINWEIS
Nur periodische Signale können als Fourierreihe dargestellt werden, sofern das Signal den Dirichlet-Bedingungen entspricht. Für nichtperiodische Signale haben wir das Werkzeug der Fourier-Transformation, das das Signal vom Zeitbereich in den Frequenzbereich transformiert.
Die Auflösung eines Signals in seine harmonisch verwandten Frequenzen wird als Fourier-Analyse bezeichnet, während die Umkehrung, also die Rekombination, als Fourier-Synthese bekannt ist.

Dirichlet-Bedingungen

x (t) ist absolut integrierbar über jeden beliebigen Zeitraum, das heißt,

x (t) hat eine endliche Anzahl von Maxima und Minima innerhalb eines beliebigen endlichen Intervalls von t.
x (t) hat eine endliche Anzahl von Unstetigkeitsstellen innerhalb eines beliebigen endlichen Intervalls von t, und jede dieser Unstetigkeitsstellen ist endlich.
Beachten Sie, dass die Dirichlet-Bedingungen hinreichend, aber nicht notwendige Bedingungen für die Darstellung durch Fourierreihen sind.

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