Fourierova řada a Fourierova transformace

Někdy není všechna informace v časové doméně dostatečná. To nás nutí přejít do frekvenční domény signálu pro získání více informací o signálu. Toto přesunutí z jedné domény do druhé se nazývá transformace. Pro změnu domény signálu z časové na frekvenční máme mnoho nástrojů. Fourierova řada a Fourierova transformace jsou dva z nástrojů, pomocí kterých rozkládáme signál na harmonicky související sinusoidy. S takovým rozkladem je signál označen jako reprezentovaný v frekvenční doméně.
Většina praktických signálů lze rozložit na sinusoidy. Takové rozložení periodických signálů se nazývá Fourierova řada.

Frekvenční analýza

Stejně jako bílé světlo lze rozložit na sedm barev, lze periodický signál také rozložit na lineární vážený součet harmonicky souvisejících frekvencí. Tento lineární vážený součet harmonicky souvisejících sinusoid nebo komplexních exponenciál se nazývá Fourierova řada nebo transformace. Obecně lze rozložení jakéhokoli signálu na jeho frekvenční komponenty nazvat frekvenční analýzou. Stejně jako analýza světla na barvy je ve skutečnosti formou frekvenční analýzy, tak jsou i Fourierova řada a Fourierova transformace nástroji frekvenční analýzy.

To může být jasnější z následujícího.
Předpokládejme, že projdeme světlem skrz hranol, rozdělí se na sedm barev VIBGYOR. Každá barva má určitou frekvenci nebo rozsah frekvencí. Podobně, pokud projdeme periodickým signálem skrz nástroj Fourier, který hraje roli hranolu, signál se rozloží na Fourierovu řadu.

Analogie signálů a vektorů

N-rozměrný vektor potřebuje N dimenzí pro své vyjádření. Jako mravenec pohybující se po stole potřebuje dvě dimenze pro vyjádření své polohy na stole, tedy x a y. Také jsme obeznámeni s koordinátním systémem i, j, k pro vyjádření vektoru v třech dimenzích. Tyto jednotkové vektory i, j a k jsou navzájem kolmé. Podobně, pokud pohlížíme na signál jako na vícedimenzionální vektor, potřebujeme mnoho dalších dimenzí, které jsou navzájem kolmé. Byl to geniální J. B. J. Fourier, který vynalezl vícedimenzionální prostor, kde tyto dimenze jsou navzájem kolmé. Jsou to sinusoidy s harmonicky souvisejícími sinusoidami nebo komplexními exponenciály. Zvažte dimenze (také nazývané báze)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
Tak, všechny sinnω0t jsou kolmé k Sinmω0t (n≠m) a můžeme tedy použít sinω0t, sin2ω0t… ∞ jako primární dimenze (také nazývané báze) pro vyjádření periodického signálu. Podobně můžeme také použít cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ jako dodatečné dimenze, když nelze použít dimenze sinω0t. Uvidíme, že pro sudé signály budou vhodné pouze kosinové členy a pro liché signály pouze sinusové členy. Pro periodický signál, který není ani lichý ani sudý, používáme oba sinusové a kosinové členy.

POZNÁMKA
Pouze periodické signály lze vyjádřit jako Fourierovu řadu, pokud signál splňuje Dirichletovy podmínky. Pro nepериодические сигналы мы используем инструмент преобразования Фурье, который преобразует сигнал из временной области в частотную область.
Разрешение сигнала на его гармонически связанные частоты называется анализом Фурье, а обратное, то есть рекомбинация, называется синтезом Фурье.

Podmínky Dirichleta

x (t) je absolutně integrovatelné v libovolném periodickém intervalu, tedy,

x (t) má konečné množství maxim a minim v libovolném konečném intervalu t.
x (t) má konečné množství nespojitostí v libovolném konečném intervalu t, a každá z těchto nespojitostí je konečná.
Poznámka: Dirichletovy podmínky jsou postačující, ale nezbytné podmínky pro reprezentaci signálu pomocí Fourierovy řady.

Prohlášení: Respektujte původ, doporučujeme sdílet kvalitní články, pokud dojde k porušení autorských práv, prosím, kontaktujte nás pro jejich odebrání.