อนุกรมฟูริเยร์และแปลงฟูริเยร์

บางครั้งข้อมูลในโดเมนเวลาอาจไม่เพียงพอ ทำให้เราต้องย้ายไปยังโดเมนความถี่ของสัญญาณเพื่อสกัดข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับสัญญาณ การย้ายจากโดเมนหนึ่งไปยังอีกโดเมนหนึ่งเรียกว่าการแปลง สำหรับการเปลี่ยนโดเมนของสัญญาณจากเวลาเป็นความถี่เรามีเครื่องมือหลายอย่าง อนุกรมฟูริเยร์ และ แปลงฟูริเยร์ เป็นสองเครื่องมือที่เราใช้ในการแยกสัญญาณออกเป็นไซนัสอย่างที่เกี่ยวข้องกันทางฮาร์โมนิก เมื่อแยกเช่นนี้ สัญญาณจะถูกกล่าวว่าแสดงในโดเมนความถี่
สัญญาณส่วนใหญ่สามารถแยกออกเป็นไซนัสได้ การแยกเช่นนี้ของสัญญาณที่เป็นวงจรป้อนกลับเรียกว่า อนุกรมฟูริเยร์.

การวิเคราะห์ความถี่

เช่นเดียวกับแสงขาวสามารถแยกออกเป็นเจ็ดสี สัญญาณที่เป็นวงจรป้อนกลับก็สามารถแยกออกเป็นผลรวมเชิงเส้นของความถี่ที่เกี่ยวข้องกันทางฮาร์โมนิกได้ ผลรวมเชิงเส้นของไซนัสอย่างที่เกี่ยวข้องกันทางฮาร์โมนิกหรือเอ็กซ์โพเนนเชียลเชิงซ้อนนี้เรียกว่า อนุกรมฟูริเยร์หรือแปลงฟูริเยร์ โดยทั่วไป การแยกสัญญาณใด ๆ ออกเป็นองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องกับความถี่เรียกว่าการวิเคราะห์ความถี่ เช่น การวิเคราะห์แสงเป็นสีเป็นรูปแบบของการวิเคราะห์ความถี่ ดังนั้นอนุกรมฟูริเยร์และแปลงฟูริเยร์จึงเป็นเครื่องมือของการวิเคราะห์ความถี่

เรื่องนี้จะชัดเจนมากขึ้นจากตัวอย่างต่อไปนี้
สมมติว่าเราผ่านแสงผ่านปริซึม แสงจะถูกแยกออกเป็นเจ็ดสี VIBGYOR แต่ละสีมีความถี่เฉพาะหรือช่วงความถี่เฉพาะ ในทำนองเดียวกัน ถ้าเราผ่านสัญญาณที่เป็นวงจรป้อนกลับผ่านเครื่องมือฟูริเยร์ ซึ่งทำหน้าที่เหมือนปริซึม สัญญาณจะถูกแยกออกเป็นอนุกรมฟูริเยร์

การเปรียบเทียบระหว่างสัญญาณและเวกเตอร์

เวกเตอร์ N มิติจำเป็นต้องใช้ N มิติในการแสดง คล้ายกับแมลงที่เคลื่อนไหวบนโต๊ะต้องใช้มิติสองมิติในการแสดงตำแหน่งบนโต๊ะ คือ x และ y นอกจากนี้เรายังคุ้นเคยกับระบบพิกัด i, j, k สำหรับการแสดงเวกเตอร์ในสามมิติ เวกเตอร์หน่วย i, j และ k ตั้งฉากกัน ในทำนองเดียวกัน ถ้าเราถือสัญญาณเป็นเวกเตอร์หลายมิติ เราต้องใช้มิติที่ตั้งฉากกันมากมาย นี่คือสิ่งที่ J. B. J. Fourier คิดค้นขึ้น มิตินี้คือไซนัสอย่างที่เกี่ยวข้องกันทางฮาร์โมนิกหรือเอ็กซ์โพเนนเชียลเชิงซ้อน ลองพิจารณามิติ (หรือเรียกว่าฐาน)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
ดังนั้น sinnω0t ทั้งหมดตั้งฉากกับ Sinmω0t (n≠m) และเราสามารถใช้ sinω0t, sin2ω0t… ∞ เป็นมิติหลัก (หรือเรียกว่าฐาน) เพื่อแสดงสัญญาณที่เป็นวงจรป้อนกลับ ด้วยวิธีเดียวกัน เราสามารถใช้ cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ เป็นมิติเพิ่มเติมเมื่อมิติ sinω0t ไม่สามารถใช้ได้ เราจะเห็นว่าสำหรับสัญญาณคู่จะใช้เทอมโคไซน์เท่านั้น และสำหรับสัญญาณคี่จะใช้เทอมไซน์เท่านั้น สำหรับสัญญาณที่ไม่เป็นคู่หรือคี่ เราจะใช้ทั้งเทอมไซน์และโคไซน์

หมายเหตุ
เฉพาะสัญญาณที่เป็นวงจรป้อนกลับเท่านั้นที่สามารถแสดงเป็นอนุกรมฟูริเยร์ได้โดยต้องปฏิบัติตามเงื่อนไขของดีริชเลต์ สำหรับสัญญาณที่ไม่เป็นวงจรป้อนกลับ เรามีเครื่องมือแปลงฟูริเยร์ที่แปลงสัญญาณจากโดเมนเวลาเป็นโดเมนความถี่
การแยกสัญญาณออกเป็นความถี่ที่เกี่ยวข้องกันทางฮาร์โมนิกเรียกว่า การวิเคราะห์ฟูริเยร์ ในขณะที่การรวมกลับเรียกว่า การสังเคราะห์ฟูริเยร์.

เงื่อนไขของดีริชเลต์

x (t) สามารถหาอินทิกรัลได้อย่างสมบูรณ์ในช่วงใด ๆ นั่นคือ,

x (t) มีจุดสูงสุดและจุดต่ำสุดจำนวนจำกัดภายในช่วง t ใด ๆ ที่จำกัด
x (t) มีจุดไม่ต่อเนื่องจำนวนจำกัดภายในช่วง t ใด ๆ ที่จำกัด และจุดเหล่านี้มีค่าจำกัด
โปรดทราบว่าเงื่อนไขของดีริชเลต์เป็นเงื่อนไขที่เพียงพอแต่ไม่จำเป็นสำหรับการแสดงอนุกรมฟูริเยร์

คำแถลง: ให้ความเคารพต่องานเขียนที่ดี บทความที่ควรแชร์ หากมีการละเมิดลิขสิทธิ์โปรดติดต่อเพื่อลบ