Série de Fourier et transformée de Fourier

Parfois, toutes les informations dans le domaine temporel ne sont pas suffisantes. Cela nous oblige à passer au domaine fréquentiel du signal pour extraire plus d'informations sur celui-ci. Ce passage d'un domaine à un autre est connu sous le nom de transformation. Pour changer le domaine du signal du temps à la fréquence, nous avons de nombreux outils. La série de Fourier et la transformée de Fourier sont deux de ces outils qui décomposent le signal en sinusoides liés harmoniquement. Avec une telle décomposition, on dit que le signal est représenté dans le domaine fréquentiel.
La plupart des signaux pratiques peuvent être décomposés en sinusoides. Une telle décomposition de signaux périodiques est appelée série de Fourier.

Analyse fréquentielle

Tout comme une lumière blanche peut être décomposée en sept couleurs, un signal périodique peut également être décomposé en une somme pondérée linéaire de fréquences liées harmoniquement. Cette somme pondérée linéaire de sinusoides ou d'exponentielles complexes liées harmoniquement est connue sous le nom de série de Fourier ou transformée de Fourier. En général, la décomposition de tout signal en ses composantes fréquentielles est appelée analyse fréquentielle. Comme l'analyse d'une lumière en couleurs est en fait une forme d'analyse fréquentielle, la série de Fourier et la transformée de Fourier sont également des outils d'analyse fréquentielle.

Cela peut être plus clair avec l'exemple suivant.
Supposons que nous fassions passer une lumière à travers un prisme, elle se divise en sept couleurs VIBGYOR. Chaque couleur a une fréquence particulière ou une plage de fréquences. De la même manière, si nous faisons passer un signal périodique à travers un outil de Fourier, qui joue le rôle d'un prisme, le signal est décomposé en une série de Fourier.

Analogie entre signaux et vecteurs

Un vecteur N dimensions nécessite N dimensions pour sa représentation. Comme une fourmi se déplaçant sur une table a besoin de deux dimensions pour représenter sa position sur la table, c'est-à-dire x et y. Nous sommes également familiers avec le système de coordonnées i, j, k pour la représentation d'un vecteur en trois dimensions. Ces vecteurs unitaires i, j et k sont orthogonaux les uns aux autres. De la même manière, si nous considérons un signal comme un vecteur multidimensionnel, nous avons besoin de beaucoup plus de dimensions qui sont orthogonales les unes aux autres. C'était le génie de J. B. J. Fourier qui a inventé des dimensions multiples, orthogonales les unes aux autres. Ce sont des sinusoides avec des sinusoides liés harmoniquement ou des exponentielles complexes. Considérez les dimensions (appelées aussi bases)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
Ainsi, tous les sinnω0t sont orthogonaux avec Sinmω0t (n≠m) et nous pouvons donc utiliser sinω0t, sin2ω0t… ∞ comme dimensions principales (appelées aussi bases) pour exprimer un signal périodique. De même, nous pouvons également utiliser cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ comme dimensions supplémentaires lorsque les dimensions sinω0t ne peuvent pas être utilisées. Nous verrons que pour les signaux pairs, seuls les termes en cosinus seront appropriés, et pour les signaux impairs, seuls les termes en sinus seront appropriés. Pour un signal périodique ni pair ni impair, nous utilisons à la fois les termes en sinus et en cosinus.

NOTE
Seuls les signaux périodiques peuvent être représentés sous forme de série de Fourier, à condition que le signal respecte les conditions de Dirichlet. Pour les signaux non périodiques, nous avons l'outil de transformée de Fourier qui transforme le signal du domaine temporel au domaine fréquentiel.
La résolution d'un signal en ses fréquences liées harmoniquement est connue sous le nom d'analyse de Fourier, tandis que l'inverse, c'est-à-dire la recombinaison, est connu sous le nom de synthèse de Fourier.

Conditions de Dirichlet

x (t) est absolument intégrable sur n'importe quelle période, c'est-à-dire,

x (t) a un nombre fini de maxima et de minima dans n'importe quel intervalle fini de t.
x (t) a un nombre fini de discontinuités dans n'importe quel intervalle fini de t, et chacune de ces discontinuités est finie.
Notez que les conditions de Dirichlet sont des conditions suffisantes mais non nécessaires pour la représentation en série de Fourier.

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