Séries de Fourier e Transformada de Fourier

Às vezes, todas as informações no domínio do tempo não são suficientes. Isso nos leva a nos mover para o domínio da frequência do sinal para extrair mais informações sobre o sinal. Essa mudança de um domínio para outro é conhecida como transformação. Para alterar o domínio do sinal de tempo para frequência, temos muitas ferramentas. Série de Fourier e Transformada de Fourier são duas dessas ferramentas nas quais decompondo o sinal em senoides relacionados harmônicos. Com tal decomposição, diz-se que o sinal está representado no domínio da frequência.
A maioria dos sinais práticos pode ser decomposta em senoides. Tal decomposição de sinais periódicos é chamada de Série de Fourier.

Análise de Frequência

Assim como uma luz branca pode ser decomposta em sete cores, um sinal periódico também pode ser decomposto em uma soma ponderada linear de frequências relacionadas harmônicas. Esta soma ponderada linear de senoides ou exponenciais complexas relacionadas harmônicas é conhecida como Série de Fourier ou Transformada de Fourier. Em geral, a decomposição de qualquer sinal em seus componentes relacionados à frequência é chamada de análise de frequência. Assim como a análise de uma luz em cores é, na verdade, uma forma de análise de frequência, a série de Fourier e a transformada de Fourier também são ferramentas de análise de frequência.

Isso pode ficar mais claro com o seguinte.
Suponha que passemos uma luz através de um prisma, ela se divide em sete cores VIBGYOR. Cada cor tem uma frequência particular ou um intervalo de frequências. Da mesma forma, se passarmos um sinal periódico através de uma ferramenta de Fourier, que desempenha o papel de um prisma, o sinal é decomposto em uma Série de Fourier.

Analogia entre Sinais e Vetores

Um vetor de N dimensões precisa de N dimensões para sua representação. Como um formiga se movendo sobre uma mesa precisa de duas dimensões para a representação de sua posição na mesa, ou seja, x e y. Também estamos familiarizados com o sistema de coordenadas i, j, k para a representação de um vetor em três dimensões. Estes vetores unitários i, j e k são ortogonais entre si. Da mesma forma, se tratarmos um sinal como um vetor multidimensional, precisamos de muitas mais dimensões que sejam ortogonais entre si. Foi o gênio de J. B. J. Fourier quem inventou múltiplas dimensões, que são ortogonais entre si. Estes são senoides com senoides relacionados harmônicos ou exponenciais complexas. Considere as dimensões (também chamadas de bases)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
Assim, todos os sinnω0t são ortogonais com Sinmω0t (n≠m) e, portanto, podemos usar sinω0t, sin2ω0t… ∞ como as dimensões primárias (também chamadas de bases) para expressar um sinal periódico. Da mesma forma, também podemos usar cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ como dimensões adicionais quando as dimensões sinω0t não puderem ser usadas. Veremos que, para sinais pares, apenas termos cosseno serão adequados e, para sinais ímpares, apenas termos seno serão adequados. Para um sinal periódico nem par nem ímpar, usamos tanto termos seno quanto cosseno.

NOTA
Apenas sinais periódicos podem ser representados como Série de Fourier, desde que o sinal siga as condições de Dirichlet. Para sinais não periódicos, temos a ferramenta de Transformada de Fourier, que transforma o sinal do domínio do tempo para o domínio da frequência.
A resolução do sinal em suas frequências relacionadas harmônicas é conhecida como Análise de Fourier, enquanto a inversa, ou seja, a recombinação, é conhecida como Síntese de Fourier.

Condições de Dirichlet

x (t) é absolutamente integrável em qualquer período, ou seja,

x (t) tem um número finito de máximos e mínimos dentro de qualquer intervalo finito de t.
x (t) tem um número finito de descontinuidades dentro de qualquer intervalo finito de t, e cada uma dessas descontinuidades é finita.
Note que as condições de Dirichlet são condições suficientes, mas não necessárias, para a representação da Série de Fourier.

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