푸리에 급수와 푸리에 변환

때로는 시간 영역의 모든 정보가 충분하지 않을 수 있습니다. 이로 인해 신호의 주파수 영역으로 이동하여 신호에 대한 더 많은 정보를 추출하게 됩니다. 한 영역에서 다른 영역으로의 이동은 변환이라고 합니다. 시간 영역에서 주파수 영역으로 신호의 영역을 변경하기 위해 다양한 도구가 있습니다. 푸리에 급수와 푸리에 변환은 이러한 도구 중 두 가지입니다. 이러한 분해를 통해 신호는 주파수 영역에서 표현되는 것으로 간주됩니다.
대부분의 실제 신호는 사인파로 분해될 수 있습니다. 이러한 주기적인 신호의 분해는 푸리에 급수라고 합니다.

주파수 분석

하얀 빛이 일곱 가지 색으로 분해될 수 있는 것처럼 주기적인 신호도 조화적으로 관련된 주파수들의 선형 가중 합으로 분해될 수 있습니다. 이러한 조화적으로 관련된 사인파 또는 복소 지수함수의 선형 가중 합은 푸리에 급수 또는 변환이라고 합니다. 일반적으로 어떤 신호를 그 주파수 관련 구성 요소로 분해하는 것은 주파수 분석이라고 합니다. 빛을 색으로 분석하는 것이 실제로 주파수 분석의 형태이므로, 푸리에 급수와 푸리에 변환도 주파수 분석의 도구입니다.

다음과 같이 명확해질 수 있습니다.
만약 우리가 빛을 프리즘을 통과시킨다면, 그것은 일곱 가지 색 VIBGYOR으로 분해됩니다. 각 색상은 특정 주파수 또는 주파수 범위를 가지고 있습니다. 같은 방식으로, 주기적인 신호를 푸리에 도구를 통해 통과시키면, 프리즘 역할을 하는 푸리에 도구를 통해 신호는 푸리에 급수로 분해됩니다.

신호와 벡터의 유사성

N 차원 벡터는 N 차원을 필요로 합니다. 예를 들어, 테이블 위를 움직이는 개미는 x와 y 두 차원이 필요합니다. 또한 우리는 i, j, k 좌표계를 사용하여 세 차원 벡터를 표현하는 방법을 알고 있습니다. 이 단위 벡터 i, j, k는 서로 직교합니다. 같은 방식으로 신호를 다차원 벡터로 취급하면 서로 직교하는 더 많은 차원이 필요합니다. J. B. J. 푸리에는 서로 직교하는 다차원을 발명했습니다. 이러한 차원들은 조화적으로 관련된 사인파 또는 복소 지수함수입니다. 다음과 같은 차원(또는 기저)을 고려해보세요
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
따라서 모든 sinnω0t는 Sinmω0t (n≠m)와 직교하며, 따라서 sinω0t, sin2ω0t… ∞를 기본 차원(또는 기저)으로 사용하여 주기적인 신호를 표현할 수 있습니다. 마찬가지로, cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞를 추가 차원으로 사용할 수도 있습니다. 짝수 신호의 경우 코사인 항만 적합하고, 홀수 신호의 경우 사인 항만 적합합니다. 주기적이지만 짝수도 홀수도 아닌 신호의 경우, 사인과 코사인 항을 모두 사용합니다.

참고
주기적인 신호만이 디리클레 조건을 따르는 경우 푸리에 급수로 표현될 수 있습니다. 비주기적인 신호의 경우, 시간 영역에서 주파수 영역으로 변환하는 푸리에 변환 도구가 있습니다.
신호를 조화적으로 관련된 주파수로 분해하는 것은 푸리에 분석이며, 그 반대 과정 즉 재결합은 푸리에 합성이라고 합니다.

디리클레 조건

x(t)는 임의의 주기 동안 절대적 적분 가능해야 합니다, 즉,

x(t)는 t의 임의의 유한 구간 내에서 유한한 수의 최대값과 최소값을 가져야 합니다.
x(t)는 t의 임의의 유한 구간 내에서 유한한 수의 불연속점을 가져야 하며, 이러한 각각의 불연속점은 유한해야 합니다.
디리클레 조건은 푸리에 급수 표현에 대한 충분 조건이지만 필요 조건은 아닙니다.

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