Furjē rinda un Furjē pārveidojums

Dažreiz informācija laika domēnā nav pietiekama. Tas mūs pārvieto uz signāla frekvenču domēnu, lai iegūtu vairāk informācijas par signālu. Šis pārvietojums no viena domēna uz otru saukts ir par transformāciju. Lai mainītu signāla domēnu no laika uz frekvenci, mums ir daudz rīku. Furjē rādītājs un Furjē pārveidojums ir divi no rīkiem, ar kuriem mēs sadalām signālu harmoniski saistītos sinusoidus. Ar šādu sadalīšanu, signāls tiek dēvēts par pārstāvētu frekvenču domēnā.
Lielāko daļu praktisko signālu var sadalīt sinusoidos. Tāda periodisku signālu sadalīšana saukta ir par Furjē rādītāju.

Frekvenču analīze

Tāpat kā baltu gaismu var sadalīt septiņās krāsās, tāpat periodisku signālu var sadalīt līdzsvarotā summā harmoniski saistītās frekvenču sakarā. Šī līdzsvarota summa harmoniski saistīto sinusoidu vai kompleksajiem eksponentiem saukta ir par Furjē rādītāju vai pārveidojumu. Vispārīgi, jebkura signāla sadalīšana tā frekvenču sastāvdaļās saukta ir par frekvenču analīzi. Tāpat kā gaisma analīze krāsās faktiski ir veids frekvenču analīzes, tāpēc Furjē rādītāji un Furjē pārveidojumi ir arī frekvenču analīzes rīki.

Šis var būt skaidrāks no šādiem.
Priekšstatīsim, ja mēs izmantojam prizmu, caur ko pārvedam gaismu, tas sadalās septiņās krāsās VIBGYOR. Katra krāsa ir noteikta frekvence vai frekvenču diapazons. Tāpat, ja mēs izmantojam Furjē rīku, kas spēlē prizmas lomu, signāls tiek sadalīts Furjē rādītājā.

Signāli un vektori analogija

N dimensiju vektors nepieciešams N dimensijas tās reprezentācijai. Tāpat kā meitene, kas kustas uz galda, nepieciešamas divas dimensijas, lai attēlotu to pozīciju uz galda, t.i., x un y. Mēs esam pieraduši pie i, j, k koordinātu sistēmas vektora reprezentācijai trīs dimensijās. Šie vienības vektori i, j un k ir ortogonāli viens otram. Tāpat, ja mēs uztveram signālu kā daudzdimensiju vektoru, mums nepieciešamas daudzas vēl dimensijas, kas ortogonālas viena otrai. Tā bija J. B. J. Furjē genialitāte, kas izgudroja daudzdimensijas, kas ortogonālas viena otrai. Šie ir sinusoidi ar harmoniski saistītām sinusoidēm vai kompleksajiem eksponentiem. Apsveriet dimensijas (arī sauktās par bāzēm)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
Tātad, visi sinnω0t ir ortogonāli Sinmω0t (n≠m) un mēs, tāpēc, varam izmantot sinω0t, sin2ω0t… ∞ kā primārās dimensijas (arī sauktās par bāzēm), lai izteikt periodisku signālu. Tāpat mēs varam izmantot cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ kā papildu dimensijas, kad sinω0t dimensijas nevar izmantot. Mēs redzēsim, ka tikai kosinusa termini būs piemēroti patiem signāliem un tikai sinusa termini - nepāra signāliem. Periodiskam signālam, kas nav ne pāra, ne nepāra, mēs izmantojam gan sinusa, gan kosinusa terminus.

PIEZĪME
Tikai periodiski signāli var tikt pārstāvēti kā Furjē rādītāji, ja signāls atbilst Dirihle nosacījumiem. Neperiodiskiem signāliem mums ir Furjē pārveidojuma rīks, kas pārveido signālu no laika domēna uz frekvenču domēnu.
Signāla sadalīšana tā harmoniski saistītās frekvenču sastāvdaļās pazīstama kā Furjē analīze, savukārt inversais, t.i., apvienošana, pazīstams kā Furjē sintēze.

Dirihle nosacījumi

x (t) ir absoliuti integrējams jebkurā periodā, t.i.,

x (t) ir ierobežots maksimumu un minimumu skaits jebkurā t finitā intervālā.
x (t) ir ierobežots diskontinuitāšu skaits jebkurā t finitā intervālā, un katras no šīm diskontinuitātēm ir ierobežotas.
Jāatzīmē, ka Dirihle nosacījumi ir pietiekami, bet ne nepieciešami nosacījumi Furjē rādītāja reprezentācijai.

Paziņojums: Cienīt oriģinālo, labas raksti vērts dalīties, ja ir tiesību pārkāpums, lūdzu, sazinieties, lai dzēst.