Furijeva serija i Furijeova transformacija

Nekada sve informacije u vremenskom domenu nisu dovoljne. To nas tera da se pomerimo u frekvencijski domen signala kako bismo izvukli više informacija o signalu. Ovo kretanje iz jednog domena u drugi poznato je kao transformacija. Za promenu domena signala sa vremenskog na frekvencijski imamo mnogo alata. Furijeov red i Furijeova transformacija su dva od alata u kojima dekomponujemo signal na harmonički srodne sinusoidne funkcije. Sa takvom dekompozicijom, kažemo da je signal predstavljen u frekvencijskom domenu.
Najveći deo praktičnih signala može biti dekomponovan na sinusoidne funkcije. Takva dekompozicija periodičnih signala naziva se Furijeov red.

Frekvencijska analiza

Kao što bi bijeli svetlost može biti dekomponovan na sedam boja, periodični signal takođe može biti dekomponovan na linearnu težinsku sumu harmonički srodnih frekvencija. Ova linearna težinska suma harmonički srodnih sinusoidnih ili kompleksnih eksponencijalnih funkcija poznata je kao Furijeov red ili Furijeova transformacija. U opštem slučaju, dekompozicija bilo kog signala na njegove frekvencijski srodne komponente zove se frekvencijska analiza. Kao što je analiza svetlosti na boje zapravo oblik frekvencijske analize, tako su i Furijeov red i Furijeova transformacija alati za frekvencijsku analizu.

Ovo može biti jasnije iz sledećeg.
Pretpostavimo da prođemo svetlost kroz prizmu, ona se razdvaja na sedam boja VIBGYOR. Svaka boja ima određenu frekvenciju ili opseg frekvencija. Na isti način, ako prođemo periodični signal kroz Furijeov alat, koji igra ulogu prizme, signal se dekomponuje u Furijeov red.

Analoga signala i vektora

N-dimenzioni vektor treba N dimenzija za svoju reprezentaciju. Kao što mrav koji se kreće po stolu treba dve dimenzije za reprezentaciju svoje pozicije na stolu, to jest x i y. Takođe smo upoznati sa i, j, k koordinatnim sistemom za reprezentaciju vektora u tri dimenzije. Ovi jedinični vektori i, j i k su ortogonalni jedni drugima. Na isti način, ako tretiramo signal kao multidimenzioni vektor, potrebno nam je mnogo više dimenzija koje su međusobno ortogonalne. To je genij J. B. J. Furijeja koji je izumio više dimenzija koje su međusobno ortogonalne. To su sinusoidne funkcije sa harmonički srodnim sinusoidama ili kompleksnim eksponencijalnim funkcijama. Razmotrimo dimenzije (takođe nazivane osnovne)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
Tako, svi sinnω0t su ortogonalni sa Sinmω0t (n≠m) i stoga možemo koristiti sinω0t, sin2ω0t… ∞ kao primarne dimenzije (takođe nazivane osnovne) da izrazimo periodični signal. Slično, možemo koristiti i cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ kao dodatne dimenzije kada se ne mogu koristiti dimenzije sinω0t. Videti ćemo da za parne signale samo kosinusne termine su prikladni, a za neparne signale samo sinusne termine su prikladni. Za periodični signal ni paran ni neparan, koristimo i sinusne i kosinusne termine.

NAPOMENA
Samo periodični signali mogu biti predstavljeni kao Furijeov red pod uslovom da signal ispunjava Dirichletove uslove. Za nepериодични сигнале имамо алат Фуријеове трансформације који трансформише сигнал из временског у фреквентни домен.
Разрешавање сигнала на хармонијски повезане фреквенције познато је као Фуријеова анализа, док је инверзна операција, рециклирање, позната као Фуријеова синтеза.

Дирихлеови услови

x (t) је апсолутно интеграбилан над било којим периодом, то јест,

x (t) има коначан број максимума и минимума у било ком коначном интервалу од t.
x (t) има коначан број прекида у било ком коначном интервалу од t, и сваки од ових прекида су коначни.
Напомена: Дирихлеови услови су довољни, али не и неопходни услови за представљање Фуријеовог реда.

Izjava: Poštujte original, dobre članke vredno je deliti, ukoliko postoji kršenje autorskih prava kontaktirajte za brisanje.