Фурье қатары және Фурье ауыстыруы

Кейде уақыт аймағындағы барлық ақпарат жеткілікті емес. Бұл біз сигналдың частоталық аймағына өтуге түрлендіреді, оның туралы толығырақ ақпарат алу үшін. Бір аймақтан екінші аймаққа өту түрлену деп аталады. Сигналдың аймағын уақыттың аймағынан частоталық аймаққа өту үшін бізде көптеген құралдар бар. Фурье сериясы және Фурье ауыстыруы - бұл синусоидаларға түрлену үшін қолданылатын екі құрал. Осындай түрленумен, сигнал частоталық аймақта көрсетіледі.
Жетістікке жеткен көптеген практикалық сигналдар синусоидаларға түрленуге болады. Мысалы, периодты сигналдардың өзара синусоидалық байланысты синусоидаларға түрленуі Фурье сериясы деп аталады.

Частоталық талдау

Ақ жарықтың сияқты, периодты сигналды да өзара синусоидалық байланысты частоталардың сызықты салыстырылған суммасына түрленуге болады. Осы сызықты салыстырылған өзара синусоидалық синусоидалардың же комплекс экспоненталардың суммасы Фурье сериясы немесе Фурье ауыстыруы деп аталады. Жалпы, кез келген сигнальдың оның частоталық компоненттеріне түрленуі частоталық талдау деп аталады. Жарықты түстерге талдау сияқты, нақтырақ айтқанда, частоталық талдау формасы, сондықтан Фурье сериясы мен Фурье ауыстыруы да частоталық талдау құралдары.

Бұл төмендегідей түсіндірілетін болады.
Егер біз жарықты призманың арқасынан өткіземіз, онда ол VIBGYOR түстеріне бөлінеді. Аралық әрбір түсінде белгілі бір частота же частоталар диапазоны бар. Сондай-ақ, егер біз периодты сигналды Фурье құралы арқылы өткіземіз, ол призманың рөлін атқаратын, сигнал Фурье сериясына түрленеді.

Сигналдар мен векторлар аналогиясы

N өлшемді вектор N өлшемге өзінің көрсетілуі үшін қажет. Мисалы, столдың астында жүрген мура N өлшемге өзінің көрсетілуі үшін x және y өлшемдерін қажет етеді. Біз i, j, k координаттары арқылы өзінің көрсетілуі үшін үш өлшемді векторлармен танымыз. Бұл бірлік векторлар i, j және k бір-біріне ортогонал. Сондай-ақ, егер біз сигналды бірнеше өлшемді вектор ретінде қарасақ, олардың бір-біріне ортогонал болуы үшін көптеген өлшемдер қажет. Бұл J. B. J. Fourier-дің генийлігі болып табылады, ол бір-біріне ортогонал болатын көптеген өлшемдерді шығарды. Бұл синусоидалар мен өзара синусоидалық синусоидалар немесе комплекс экспоненталар. Қараңыз өлшемдер (бұлардың негізі)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
Сонымен, барлық sinnω0t, Sinmω0t (n≠m) ортогонал және біз, сондықтан sinω0t, sin2ω0t… ∞ негізгі өлшемдер (бұлардың негізі) арқылы периодты сигналды көрсету үшін пайдалануға болады. Сол сияқты, біз de cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ өлшемдерін де sinω0t өлшемдері пайдаланылмайтын кезде қосымша өлшемдер ретінде қолдануға болады. Біз таңбаланған сигналдар үшін тек косинустар термині қолданылады, ал таңбасыз сигналдар үшін тек синустар термині қолданылады. Таңбасыз же таңбаланған емес периодты сигнал үшін, біз синус және косинустар терминдерін қолданамыз.

Ескерту
Тек периодты сигналдар Дирихле шарттарын сақтайтын жағдайда Фурье сериясы ретінде көрсетілуге болады. Түрленгінетін сигналдар үшін, біз уақыт аймағынан частоталық аймаққа өту үшін Фурье ауыстыруы құралын қолданамыз.
Сигналдың гармоникалық байланысты частоталарына түрленуі Фурье талдауы деп, ал керісінше, қайта қосуы Фурье синтезі деп аталады.

Дирихле шарттары

x (t) әрбір период аралығында абсолютті интегралданады, яғни,

x (t) t аралығындағы кез келген шекті інтервалда максимумдар мен минимумдар саны шектеулі.
x (t) t аралығындағы кез келген шектеулі інтервалда дисконтинуитеттер саны шектеулі, және бұл дисконтинуитеттер әрқайсысы шектеулі.
Ескерту: Дирихле шарттары Фурье сериясының көрсетілуі үшін жеткілікті, бірақ қажетті емес шарттар.

Хабарлау: Жоғары сапалы мақалаларды бөлісу үшін, егер автордық құқықтардың жоғалуы болса, оны жою үшін хабарласыңыз.