Fourier-reeks en Fourier-transformasie

Soms is al die inligting in die tydgebied nie voldoende nie. Dit maak dat ons na die frekwensiegebied van die sein beweeg om meer inligting oor die sein te kry. Hierdie beweging van een gebied na 'n ander gebied staan bekend as transformasie. Vir die verandering van die sein se gebied van tyd na frekwensie het ons baie instrumente. Fourier Reeks en Fourier Transformasie is twee van die instrumente waarin ons die sein dekomposeer in harmonies verwante sinusvormige golfvlakke. Met so 'n dekomposisie word 'n sein gesê dat dit in die frekwensiegebied voorgestel word.
Die meeste praktiese seinne kan dekomposeer word in sinusvormige golfvlakke. So 'n dekomposisie van periodiese seinne staan bekend as 'n Fourier reeks.

Frekwensie Analise

Net soos 'n wit lig kan verdeel word in sewe kleure, kan 'n periodiese sein ook verdeel word in 'n lineêre geweegde som van harmonies verwante frekwensies. Hierdie lineêre geweegde som van harmonies verwante sinusvormige golfvlakke of komplekse eksponentiale staan bekend as Fourier Reeks of Transformasie. In die algemeen, die dekomposisie van enige sein in sy frekwensie-verwante komponente staan bekend as frekwensie analise. Soos die analise van 'n lig in kleure werklik 'n vorm van frekwensie analise is, is die Fourier reeks en Fourier transformasie ook instrumente van frekwensie analise.

Hierdie kan duideliker wees uit die volgende.
Stel, as ons 'n lig laat gaan deur 'n prisma, word dit verdeel in sewe kleure VIBGYOR. Elke kleur het 'n spesifieke frekwensie of 'n reeks frekwensies. Op dieselfde manier, as ons 'n periodiese sein laat gaan deur 'n Fourier instrument, wat die rol van 'n prisma speel, word die sein dekomposeer in 'n Fourier reeks.

Seinne en Vektore Analogie

'n N-dimensionele vektor benodig N dimensies vir sy voorstelling. Soos 'n mier wat op 'n tafel beweeg, benodig twee dimensies vir die voorstelling van sy posisie op die tafel, naamlik x en y. Ons is ook vertroud met die i, j, k-koördinaatstelsel vir 'n vektorvoorstelling in drie dimensies. Hierdie eenheidsvektore i, j en k is ortogonaal ten opsigte van mekaar. Op dieselfde manier, as ons 'n sein behandel as 'n multidimensionele vektor, benodig ons baie meer dimensies wat ortogonaal ten opsigte van mekaar is. Dit was die genie van J. B. J. Fourier wat multi-dimensies uitgevind het, wat ortogonaal ten opsigte van mekaar is. Hierdie is sinusvormige golfvlakke met harmonies verwante sinusvormige golfvlakke of komplekse eksponentiale. Oorweeg die dimensies (ook genoem basisse)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
Dus, al sinnω0t is ortogonaal met Sinmω0t (n≠m) en ons kan daarom sinω0t, sin2ω0t… ∞ gebruik as die primêre dimensies (ook genoem basisse) om 'n periodiese sein uit te druk. Op dieselfde manier, kan ons ook cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ as addisionele dimensies gebruik wanneer sinω0t-dimensies nie gebruik kan word nie. Ons sal sien dat net kosinus terme geskik is vir ewe seinne en net sinus terme geskik is vir oneewe seinne. Vir 'n periodiese sein wat nie een noenie nie, gebruik ons beide sinus en kosinus terme.

LET OP
Slegs periodiese seinne kan as Fourier reeks voorgestel word, verskaf die sein voldoen aan die Dirichlet se voorwaardes. Vir nie-periodiese seinne het ons die Fourier transformasie instrument wat die sein van tydgebied na frekwensiegebied transformeer.
Die resolusie van 'n sein in sy harmonies verwante frekwensies staan bekend as Fourier Analise, terwyl die inverse, d.w.s. hergroepeer, bekend staan as Fourier Sintese.

Dirichlet se Voorwaardes

x (t) is absoluut integreerbaar oor enige periode, dit wil sê,

x (t) het 'n eindige aantal maksima en minima binne enige eindige interval van t.
x (t) het 'n eindige aantal diskontinuïteite binne enige eindige interval van t, en elkeen van hierdie diskontinuïteite is eindig.
Let op dat die Dirichlet se voorwaardes voldoende maar nie noodsaaklike voorwaardes is vir die Fourier reeksvoorstelling.

Verklaring: Respek die oorspronklike, goeie artikels is die deel, as daar inbreuk is maak asb. kontak verwyder.