फூரியே தொடர் மற்றும் ஃபூரியே மாற்றம்

சில நேரங்களில் நேர அளவு தரவுகளில் உள்ள அனைத்து தகவலும் போதுமானதாக இருக்காது. இது நம்மை சிக்கலை அதிக தகவல்களைப் பெறுவதற்காக அதன் அதிபரவளையத்திற்கு மாற்றுவதை வைத்து கொண்டு செல்லும். இந்த ஒரு அளவு முன்னோக்கிலிருந்து மற்றொரு அளவு முன்னோக்கில் மாற்றம் அல்லது மாற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. நேரத்திலிருந்து அதிபரவளையத்திற்கு சிக்கலை மாற்றுவதற்கான நம்மிடம் பல உத்கோலங்கள் உள்ளன. Fourier Series மற்றும் Fourier Transform இவை இரு உத்கோலங்கள், இவற்றில் நாம் சிக்கலை ஹார்மோனிகல் தொடர்புடைய சைனஸாக பிரிக்கிறோம். இந்த பிரிவினையினால், ஒரு சிக்கல் அதிபரவளையத்தில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளதாகக் கூறப்படுகிறது.
பெரும்பாலான தொழில்நுட்ப சிக்கல்களை சைனஸாக பிரிக்க முடியும். இந்த பொருளின் பொருள்வாரியான சிக்கல்களின் பிரிவினை என்பது Fourier series என்று அழைக்கப்படுகிறது.

அதிபரவளைய பகுப்பாய்வு

வெள்ளியின் வெள்ளி ஒளியை ஏழு நிறங்களாக பிரிக்க முடியும் என்று போலவே, ஒரு பொருளின் சிக்கலையும் ஹார்மோனிகல் தொடர்புடைய அதிபரவளையங்களின் நேரியல் எடையிடப்பட்ட கூட்டலாக பிரிக்க முடியும். இந்த நேரியல் எடையிடப்பட்ட ஹார்மோனிகல் தொடர்புடைய சைனஸ் அல்லது சிக்கலான அதிபரவளையங்கள் Fourier Series or Transform என்று அழைக்கப்படுகிறது. பொதுவாக, எந்த சிக்கலையும் அதன் அதிபரவளைய தொடர்புடைய கூறுகளாக பிரிக்கும் போது அது அதிபரவளைய பகுப்பாய்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு வெள்ளியின் நிறங்களின் பகுப்பாய்வு அதிபரவளைய பகுப்பாய்வின் ஒரு வடிவமாகும், அதனால் Fourier series மற்றும் Fourier transform இரண்டும் அதிபரவளைய பகுப்பாய்வின் உத்கோலங்களாகும்.

இது கீழ்க்கண்டவாறு தெளிவாக இருக்கும்.
ஒரு வெள்ளியை prism வழியாக போக வைத்தால், அது VIBGYOR என்ற ஏழு நிறங்களாக பிரிகிறது. ஒவ்வொரு நிறமும் ஒரு தனித்த அதிபரவளையத்தை அல்லது அதிபரவளையத்தின் ஒரு தொடர்புடைய வீச்சைக் கொண்டிருக்கும். அதே போல, ஒரு பொருளின் சிக்கலை Fourier tool வழியாக போக வைத்தால், அது Fourier series ஆக பிரிகிறது.

சிக்கல்களும் வெக்டர்களும் ஒப்புமை

N பரிமாண வெக்டருக்கு N பரிமாணங்கள் தேவை. ஒரு அந்தை ஒரு மேஜையில் நகரும்போது அதன் நிலையை விளக்குவதற்கு x மற்றும் y என்ற இரண்டு பரிமாணங்கள் தேவை. i, j, k ஆகிய அலகு வெக்டர்கள் மூன்று பரிமாணங்களில் வெக்டரை விளக்குவதற்கு போதுமானவை. இந்த அலகு வெக்டர்கள் ஒருவருக்கொருவர் செங்குத்தாக இருக்கும். அதே போல, ஒரு சிக்கலை பல பரிமாண வெக்டராக கருதும்போது, அதற்கு பல பரிமாணங்கள் தேவை, அவை ஒருவருக்கொருவர் செங்குத்தாக இருக்கும். J. B. J. Fourier என்பவர் இந்த பல பரிமாணங்களை உருவாக்கினார். இவை ஹார்மோனிகல் தொடர்புடைய சைனஸ் அல்லது சிக்கலான அதிபரவளையங்கள். இந்த பரிமாணங்களை (அல்லது அடிப்படைகளை) கருதுக:
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
எனவே, அனைத்து sinnω0t களும் Sinmω0t (n≠m) களுடன் செங்குத்தாக இருக்கும், அதனால் நாம் பொருளின் சிக்கலை வெளிப்படுத்தும்போது sinω0t, sin2ω0t… ∞ என்ற அடிப்படைகளை முதன்மையாக பயன்படுத்தலாம். அதே போல, cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ என்ற அடிப்படைகளையும் பயன்படுத்தலாம். ஒரு பொருளின் சிக்கல் ஒற்றை அல்லது இரட்டை அல்லாதபோது, நாம் சைன் மற்றும் கோசைன் அடிப்படைகளை இரண்டும் பயன்படுத்துவோம்.

குறிப்பு
ஒரு பொருளின் சிக்கலை Fourier series என்று குறிப்பதற்கு Dirichlet’s conditions ஐ நிறைவு செய்ய வேண்டும். ஒரு பொருளின் சிக்கல் பொருளின் சிக்கலாக இருந்தால், நாம் அதனை நேரத்திலிருந்து அதிபரவளையத்திற்கு மாற்றுவதற்கான Fourier transform tool உள்ளது.
சிக்கலை ஹார்மோனிகல் தொடர்புடைய அதிபரவளையங்களாக பிரிக்கும் செயல் Fourier Analysis என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதன் எதிர்வினால், அது Fourier Synthesis என்று அழைக்கப்படுகிறது.

Dirichlet’s Conditions

x (t) என்பது எந்த ஒரு பொருளின் சிக்கலிலும் முழுமையாக தொகையிடக்கூடியது, அதாவது,

x (t) என்பது t இன் எந்த ஒரு முடிவுறு இடைவெளியிலும் முடிவுற்ற எண்ணிக்கையிலான பெரும மற்றும் சிறும மதிப்புகளை கொண்டிருக்கும்.
x (t) என்பது t இன் எந்த ஒரு முடிவுறு இடைவெளியிலும் முடிவுற்ற எண்ணிக்கையிலான தொடர்ச்சியற்ற மதிப்புகளை கொண்டிருக்கும், மற்றும் இந்த தொடர்ச்சியற்ற மதிப்புகள் அனைத்தும் முடிவுற்றவை.
தேவையான ஆனால் அவசியமற்ற Dirichlet’s conditions என்பது Fourier series வடிவமைப்புக்கான நிபந்தனைகளாகும்.

Statement: Respect the original, good articles worth sharing, if there is infringement please contact delete.