Serie di Fourier e Trasformata di Fourier

A volte tutte le informazioni nel dominio del tempo non sono sufficienti. Questo ci porta a spostarci nel dominio della frequenza del segnale per estrarre ulteriori informazioni sul segnale. Questo movimento da un dominio all'altro è noto come trasformazione. Per cambiare il dominio del segnale dal tempo alla frequenza abbiamo molti strumenti. La Serie di Fourier e la Trasformata di Fourier sono due degli strumenti in cui decomponiamo il segnale in sinusoidi armonicamente correlate. Con tale decomposizione, un segnale viene detto rappresentato nel dominio della frequenza.
La maggior parte dei segnali pratici può essere decomposta in sinusoidi. Tale decomposizione di segnali periodici è chiamata Serie di Fourier.

Analisi delle Frequenze

Proprio come una luce bianca può essere decomposta in sette colori, un segnale periodico può anche essere decomposto in una somma pesata lineare di frequenze armonicamente correlate. Questa somma pesata lineare di sinusoidi o esponenziali complessi armonicamente correlati è nota come Serie di Fourier o Trasformata di Fourier. In generale, la decomposizione di qualsiasi segnale nelle sue componenti di frequenza è chiamata analisi delle frequenze. Come l'analisi di una luce nei suoi colori è in realtà una forma di analisi delle frequenze, la Serie di Fourier e la Trasformata di Fourier sono anche strumenti di analisi delle frequenze.

Questo può essere più chiaro dall'esempio seguente.
Supponiamo di far passare una luce attraverso un prisma, si divide in sette colori VIBGYOR. Ogni colore ha una particolare frequenza o un range di frequenze. Nello stesso modo, se facciamo passare un segnale periodico attraverso uno strumento di Fourier, che svolge il ruolo di prisma, il segnale viene decomposto in una Serie di Fourier.

Analogia tra Segnali e Vettori

Un vettore N-dimensionale necessita di N dimensioni per la sua rappresentazione. Come un formica che si muove su un tavolo necessita di due dimensioni per la rappresentazione della sua posizione sul tavolo, cioè x e y. Siamo anche familiari con il sistema di coordinate i, j, k per la rappresentazione di un vettore in tre dimensioni. Questi vettori unitari i, j e k sono ortogonali tra loro. Nello stesso modo, se trattiamo un segnale come un vettore multidimensionale, abbiamo bisogno di molte più dimensioni che siano ortogonali tra loro. Fu il genio di J. B. J. Fourier a inventare tali dimensioni multidimensionali, che sono ortogonali tra loro. Queste sono sinusoidi con sinusoidi armonicamente correlate o esponenziali complessi. Consideriamo le dimensioni (chiamate anche basi)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
Pertanto, tutti gli sinnω0t sono ortogonali con Sinmω0t (n≠m) e possiamo quindi utilizzare sinω0t, sin2ω0t… ∞ come le dimensioni primarie (chiamate anche basi) per esprimere un segnale periodico. Analogamente, possiamo anche utilizzare cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ come dimensioni aggiuntive quando non possono essere utilizzate le dimensioni sinω0t. Vedremo che per i segnali pari saranno adatti solo i termini coseno, mentre per i segnali dispari solo i termini seno. Per un segnale periodico né pari né dispari, utilizzeremo sia i termini seno che coseno.

NOTA
Solo i segnali periodici possono essere rappresentati come Serie di Fourier, a condizione che il segnale segua le condizioni di Dirichlet. Per i segnali non periodici, abbiamo lo strumento della Trasformata di Fourier, che trasforma il segnale dal dominio del tempo al dominio della frequenza.
La risoluzione del segnale nelle sue frequenze armonicamente correlate è nota come Analisi di Fourier, mentre l'inverso, cioè la ricombinazione, è noto come Sintesi di Fourier.

Condizioni di Dirichlet

x (t) è assolutamente integrabile in qualsiasi periodo, cioè,

x (t) ha un numero finito di massimi e minimi in qualsiasi intervallo finito di t.
x (t) ha un numero finito di discontinuità in qualsiasi intervallo finito di t, e ciascuna di queste discontinuità è finita.
Si noti che le condizioni di Dirichlet sono condizioni sufficienti ma non necessarie per la rappresentazione della Serie di Fourier.

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