フーリエ級数とフーリエ変換

時系列情報だけでは十分でない場合があります。これにより、信号の周波数領域に移動し、信号に関するより多くの情報を抽出する必要があります。この一つの領域から別の領域への移動は変換と呼ばれます。信号の領域を時間から周波数に変更するためには、多くのツールがあります。フーリエ級数とフーリエ変換は、その中の二つであり、これらのツールを使用して信号を調和関係にある正弦波に分解します。このような分解により、信号は周波数領域で表現されると言えます。
実際のほとんどの信号は正弦波に分解できます。このような周期信号の分解はフーリエ級数と呼ばれています。

周波数解析

白光が七色に分解できるように、周期的な信号も調和関係にある周波数の線形重み付き和に分解することができます。この調和関係にある正弦波または複素指数関数の線形重み付き和は、フーリエ級数またはフーリエ変換と呼ばれます。一般的に、信号をその周波数に関連する成分に分解することを周波数解析と呼びます。光の色分析は、実際には周波数解析の一種であり、フーリエ級数とフーリエ変換も周波数解析のツールです。

これは以下の説明でより明確になります。
たとえば、光を通すプリズムがあると、その光はVIBGYORの七色に分割されます。各色には特定の周波数または周波数範囲があります。同様に、周期的な信号をフーリエツール（プリズムの役割を果たす）を通すと、その信号はフーリエ級数に分解されます。

信号とベクトルの類推

N次元ベクトルはその表現のためにN次元が必要です。テーブル上の蟻が位置を表すためにxとyの2つの次元が必要なように、私たちはi、j、k座標系を使って三次元ベクトルを表現することに馴染んでいます。これらの単位ベクトルi、j、kは互いに直交しています。同様に、信号を多次元ベクトルとして扱うと、それらは互いに直交する多くの次元が必要となります。これはJ.B.J.フーリエの天才的な発見であり、これらの次元は調和関係にある正弦波または複素指数関数です。次のような次元（基底とも呼ばれます）を考えます
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
したがって、すべてのsinnω0tはSinmω0t（n≠m）と直交しており、私たちはsinω0t、sin2ω0t… ∞を基本次元（基底）として周期信号を表現することができます。同様に、cosω0t、cos2ω0t、cos3ω0t… ∞も追加の次元として使用することができます。偶関数に対してはコサイン項のみが適切であり、奇関数に対してはサイン項のみが適切です。周期信号が偶関数でも奇関数でもない場合、私たちはサインとコサインの両方の項を使用します。

注意
ディリクレ条件を満たす限り、周期信号はフーリエ級数として表現することができます。非周期信号の場合、私たちは信号を時間領域から周波数領域に変換するためのフーリエ変換ツールがあります。
信号を調和関係にある周波数に分解することをフーリエ解析と呼び、逆に再結合することをフーリエ合成と呼びます。

ディリクレ条件

x (t) は任意の周期において絶対積分可能です、つまり、

x (t) は任意の有限区間 t において有限の最大値と最小値を持ちます。
x (t) は任意の有限区間 t において有限の不連続点を持ち、これらの不連続点はすべて有限です。
ディリクレ条件はフーリエ級数表現のための十分条件ですが、必要条件ではありません。

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