Fourier-sor és Fourier-transzformáció

Néha az időtartományban található információk nem elegendőek. Ez kényszeríti minket, hogy áttérjünk a jel frekvenciatartományába, hogy több információt szedjünk ki a jellől. Ez az egyik tartományból a másikba történő áttérés transzformációnak nevezhető. A jel tartományának időtartományból frekvenciatartományba történő változtatásához sok eszköz áll rendelkezésünkre. Fourier-sor és Fourier-transzformáció két olyan eszköz, amelyben a jelet harmonikusan kapcsolódó szinuszokra bontjuk. Ilyen felbontással a jel frekvenciatartományban van reprezentálva.
A legtöbb gyakorlati jel szinuszokra bontható. Ilyen felbontás periódikus jelek esetén Fourier-sornak nevezhető.

Frekvencia-analízis

Úgy, ahogy egy fehér fényt lehet hét színre bontani, úgy egy periódikus jel is bontható egy lineáris súlyozott összegre harmonikusan kapcsolódó frekvenciákból. Ez a harmonikusan kapcsolódó szinuszok vagy komplex exponenciálisok lineáris súlyozott összege Fourier-sor vagy Fourier-transzformáció néven ismert. Általánosságban, bármely jel felbontása frekvenciával kapcsolatos komponenseire frekvencia-analízisnek nevezhető. Mivel a fény analízise színekbe valójában egy frekvencia-analízis formája, a Fourier-sor és a Fourier-transzformáció is frekvencia-analízis eszközei.

Ez a következő példából lesz világosabb.
Tegyük fel, ha egy fényt prizmán keresztül küldünk, akkor a VIBGYOR színekbe osztódik. Minden színnek van egy adott frekvenciája vagy frekvencia-intervalluma. Ugyanígy, ha egy periódikus jelet Fourier-eszközen (ami a prizma szerepét játszik) keresztül küldünk, a jel Fourier-sorra bontódik.

Jelek és vektorok analógiája

Egy N dimenziós vektor N dimenziót igényel a reprezentációhoz. Úgy, mint egy hangya, ami egy asztalon mozog, két dimenziót igényel a pozíciójának megadásához, azaz x és y. Ismeretes is a i, j, k koordinátarendszer a vektorok háromdimenziós reprezentációjához. Ezek a egységvektorok (i, j, k) ortogonálisak egymáshoz. Hasonlóképpen, ha egy jelet többdimenziós vektorként kezelünk, akkor sok ortogonális dimenziót igényel. J. B. J. Fourier génia volt, aki felfedezte ezeket a többdimenziókat, amelyek ortogonálisak egymáshoz. Ezek a harmonikusan kapcsolódó szinuszok vagy komplex exponenciálisok. Vezessük be a dimenziókat (vagy bázisokat)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
Tehát, minden sinnω0t ortogonális Sinmω0t-vel (n≠m), és ezért használhatjuk sinω0t, sin2ω0t… ∞ alapdimenziókként (vagy bázisokként) egy periódikus jel kifejezésére. Hasonlóképpen, használhatjuk a cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ további dimenziókat, amikor a sinω0t dimenziói nem alkalmazhatók. Látni fogjuk, hogy csak a koszinusz tagok alkalmasak a páros jelekhez, és csak a szinusz tagok a páratlan jelekhez. Egy nem páros, nem páratlan periódikus jel esetén mind a szinusz, mind a koszinusz tagokat használjuk.

MEGJEGYZÉS
Csak a periódikus jelek képesek Fourier-sorra bontódni, feltéve, hogy a jel teljesíti a Dirichlet-feltételeket. A nem periódikus jelek esetén a Fourier-transzformációs eszközt használjuk, amely a jelet időtartományból frekvenciatartományba transzformálja.
Egy jel felbontása harmonikusan kapcsolódó frekvenciákra Fourier-analízisnek nevezhető, míg az inverz, azaz a kombinálás, Fourier-szintézissel ismert.

Dirichlet-feltételek

x (t) abszolút integrálható bármely perióduson belül, azaz,

x (t) véges számú maximumot és minimumot tartalmaz bármilyen véges t intervallumon belül.
x (t) véges számú megszakítást tartalmaz bármilyen véges t intervallumon belül, és mindegyik megszakítás véges.
Megjegyzendő, hogy a Dirichlet-feltételek elégséges, de nem szükséges feltételek a Fourier-sor reprezentációhoz.

Kijelentés: Tisztelet az eredeti, jó cikkek megosztásra méltók, ha jogellenes tartalom található, kérjük, vegye fel velünk a kapcsolatot a törlés érdekében.