Fourieri rida ja Fourieri teisendus

Mõnikord ei ole ajas domeenis olev informatsioon piisav. See viib meid signaali sagedusspektri domeenile, et saada rohkem informatsiooni signaalist. See liikumine ühest domeenist teise tundub kui teisendus. Ajadomeenist sagedusspektridomeeni üleminekuks on meil mitmeid tööriistu. Fourieri rida ja Fourieri teisendus on kaks sellist tööriista, mille abil dekomposeerime signaali harmooniliste sinusoidideks. Sellisel dekompositsioonil öeldakse, et signaal on esitatud sagedusspektris.

Sagedusanalüüs

Nagu valgust saab dekomposeerida seitseks värvi, nii saab ka perioodilist signaali dekomposeerida lineaarsesse kaalutud summa harmooniliselt seotud sagedusteks. See lineaarne kaalutud summa harmooniliselt seotud sinusoididest või komplekssetest eksponentidest on teada kui Fourieri rida või teisendus. Üldiselt nimetatakse mis tahes signaali dekompositsiooni tema sagedusega seotud komponentideks sagedusanalüüsiks. Nii nagu valguse analüüs värvidesse on tegelikult sagedusanalüüsi vorm, on Fourieri rida ja Fourieri teisendus ka sagedusanalüüsi tööriistad.

See selgub järgnevast.
Olgu, et me laskume valgust prisma läbi, siis see jaguneb seitseks värvinä. Igal värvil on konkreetne sagedus või sageduste diapazon. Samamoodi, kui me laskume perioodilist signaali Fourieri tööriista läbi, mis mängib prisma rolli, siis signaal dekomposeeritakse Fourieri reaks.

Signaalide ja vektorite analoogia

N-dimensionaaliline vektor vajab N-dimensiooni oma esitamiseks. Näiteks punasepesa positsiooni laual esitamiseks on vaja kahte dimensiooni, st x ja y. Olika i, j, k koordinaatsüsteemi abil saame vektori esitada kolmes dimensioonis. Need ühikvektorid i, j ja k on omavahel ortogaalsed. Samamoodi, kui me vaatleme signaali mitmemõõtmelise vektoriga, on vaja palju rohkem ortogaalseid dimensioone. J. B. J. Fourier oli geniaalne inimene, kes leiutas mitmeid ortogaalseid dimensioone. Need on sinusoidid harmooniliselt seotud sinusoidide või komplekssete eksponentidega. Vaatleme dimensioone (tuntud ka kui alused)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
Nii, kõik sinnω0t on ortogaalsed Sinmω0t (n≠m) ja me saame kasutada sinω0t, sin2ω0t… ∞ põhiline dimensioon (tuntud ka kui alused) perioodilise signaali väljendamiseks. Samuti saame kasutada cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ lisadimensioonidena, kui sinω0t dimensioone ei saa kasutada. Me näeme, et paaris signaalide korral sobivad ainult kosinuside liigid ja paaritu signaalide korral sobivad ainult siinuse liigid. Perioodilise signaali korral, mis ei ole ega paaris ega paaritu, kasutame nii siinusi kui ka kosinuseid.

MÄRGE
Ainult perioodilisi signale saab esitada Fourieri reana, kui signaal järgib Dirichleti tingimusi. Mitteperioodiliste signaalide korral on meil Fourieri teisenduse tööriist, mis teisendab signaali ajadomeenist sagedusspektridomeeni.
Signaali resolutsioon selle harmooniliselt seotud sagedusteks on teada kui Fourieri analüüs, samas kui vastand, ehk uuesti kombinatsioon, on teada kui Fourieri süntees.

Dirichleti tingimused

x (t) on absoluutselt integreeritav igas perioodis, s.t.,

x (t)l on lõplik arv maksimaume ja minimaume igas lõplikus t-intervalis.
x (t)l on lõplik arv katkevaid punkte igas lõplikus t-intervalis, ja iga neist katkevatest punktidest on lõplik.
Märkus, et Dirichleti tingimused on piisavad, kuid mitte vajalikud tingimused Fourieri rea esitamiseks.

Deklaratsioon: Austa originaali, hea artikkel on jagamise väärt, kui on autoriõiguste rikkumine, palun võta ühendust, et kustutada.