ఫూరియర్ శ్రేణి మరియు ఫూరియర్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్

కొన్ని సందర్భాలలో సమయ ప్రాంతంలోని అన్ని సమాచారం ప్రయోజనకరంగా ఉండదు. ఇది మనం సంకేతాన్ని ఆవృత్తి ప్రాంతంలోకి తీసుకురావడానికి విచారించాలనుకుంది. ఒక ప్రాంతం నుండి మరొక ప్రాంతంలోకి ఈ మార్పును రూపాంతరణ అంటారు. సమయ నుండి ఆవృత్తి ప్రాంతంలోకి సంకేతాన్ని మార్చడానికి మనకు అనేక టూల్స్ ఉన్నాయి. ఫోరియర్ సమాచారం మరియు ఫోరియర్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ ఇదంతా రెండు టూల్స్, ఇవిలో మనం సంకేతాన్ని హర్మోనిక్ సంబంధం కలిగిన సైనసాయిడ్‌లో విఘటించాము. ఈ విఘటన ద్వారా, సంకేతం ఆవృత్తి ప్రాంతంలో ప్రదర్శించబడుతుంది.
ప్రాయోజిక సంకేతాలలో అనేకం సైనసాయిడ్‌లో విఘటించబడవచ్చు. ఈ ఆవర్తన సంకేతాల విఘటనను ఫోరియర్ సమాచారం అంటారు.

ఆవృత్తి విశ్లేషణ

సఫెడ్ లైట్ లాగే సమయ ప్రాంతంలోని అన్ని సమాచారం ప్రయోజనకరంగా ఉండదు. ఈ కారణం మనం సంకేతాన్ని ఆవృత్తి ప్రాంతంలోకి తీసుకురావడానికి విచారించాలనుకుంది. ఆవృత్తి ప్రాంతంలోకి సంకేతాన్ని మార్చడానికి మనకు అనేక టూల్స్ ఉన్నాయి. ఫోరియర్ సమాచారం మరియు ఫోరియర్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ ఇవిలో మనం సంకేతాన్ని హర్మోనిక్ సంబంధం కలిగిన సైనసాయిడ్‌లో విఘటించాము. ఈ విఘటన ద్వారా, సంకేతం ఆవృత్తి ప్రాంతంలో ప్రదర్శించబడుతుంది. ప్రాయోజిక సంకేతాలలో అనేకం సైనసాయిడ్‌లో విఘటించబడవచ్చు. ఈ ఆవర్తన సంకేతాల విఘటనను ఫోరియర్ సమాచారం అంటారు.

ఈ విషయం క్రింది విధంగా స్పష్టంగా ఉంటుంది.
మనం ఒక ప్రిజం ద్వారా లైట్ ను పంపినట్లు ఊహించండి, అది సెవెన్ రంగులుగా విఘటించబడుతుంది VIBGYOR. ప్రతి రంగు ఒక నిర్దిష్ట ఆవృత్తి లేదా ఆవృత్తి పట్టణం కలిగి ఉంటుంది. అదే విధంగా, మనం ఒక ఆవర్తన సంకేతాన్ని ఫోరియర్ టూల్ ద్వారా పంపినప్పుడు, అది ఫోరియర్ సమాచారంలో విఘటించబడుతుంది.

సంకేతాలు మరియు వెక్టర్ల అనుపాతం

N డిమెన్షనల్ వెక్టర్ N డిమెన్షనల్లో దాని ప్రదర్శన కోసం అవసరం. ఒక ఎంట్ ఒక టేబిల్ పై నడిచే వ్యక్తికి x మరియు y అనే రెండు డిమెన్షనల్లో దాని స్థానం ప్రదర్శించడానికి అవసరం. మనం i, j, k కోఆర్డినేట్ వ్యవస్థను మూడు డిమెన్షనల్లో వెక్టర్ ప్రదర్శనకు తెలుసు. ఈ యూనిట్ వెక్టర్లు i, j మరియు k వాటి పరస్పరం లంబవాటి. అదే విధంగా, మనం ఒక సంకేతాన్ని బహు డిమెన్షనల్ వెక్టర్గా చూస్తే, మనకు అనేక డిమెన్షనల్లు అవసరం, వాటి పరస్పరం లంబవాటి. J. B. J. ఫోరియర్ అనే జెనియస్ మనం బహు డిమెన్షనల్లను, వాటి పరస్పరం లంబవాటి కనుగొనారు. ఈ డిమెన్షనల్లు (అనుకొన్న బేసీస్)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
అందువల్ల, అన్ని sinnω0t లు Sinmω0t (n≠m) లతో లంబవాయి మరియు మనం, అందువల్ల ఆవర్తన సంకేతాన్ని ప్రదర్శించడానికి sinω0t, sin2ω0t… ∞ లను ప్రాథమిక డిమెన్షనల్లు (అనుకొన్న బేసీస్) గా ఉపయోగించవచ్చు. అదే విధంగా, మనం cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ లను కూడా ఉపయోగించవచ్చు. ఒక ఆవర్తన సంకేతం కేవలం కోసైన్ పదాలు యొక్క సుమారు సంకేతం అయితే, మాత్రమే కోసైన్ పదాలు ఉపయోగించబడతాయి. ఒక ఆవర్తన సంకేతం కేవలం సైన్ పదాలు యొక్క సుమారు సంకేతం అయితే, మాత్రమే సైన్ పదాలు ఉపయోగించబడతాయి. ఒక ఆవర్తన సంకేతం సుమారు సంకేతం కాని, మాత్రమే సైన్ మరియు కోసైన్ పదాలు ఉపయోగించబడతాయి.

శుభేచ్ఛ
కేవలం ఆవర్తన సంకేతాలు ఫోరియర్ సమాచారంలో ప్రదర్శించబడవచ్చు, సంకేతం డిరిక్లెట్ షర్టులను పాటించినట్లయితే. ఆవర్తన కాని సంకేతాలకు, మనకు సమయ ప్రాంతం నుండి ఆవృత్తి ప్రాంతంలోకి సంకేతాన్ని మార్చడానికి ఫోరియర్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ టూల్ ఉంది.
సంకేతాన్ని హర్మోనిక్ సంబంధం కలిగిన ఆవృత్తుల్లో విఘటించడానికి ఫోరియర్ విశ్లేషణ అంటారు, విపరీతంగా మళ్లీ కలపడానికి ఫోరియర్ సిన్థెసిస్ అంటారు.

డిరిక్లెట్ షర్టులు

x (t) ఏదైనా సమయంలో ముఖ్యంగా సమాకలనం చేయబడుతుంది, అంటే,

x (t) ఏదైనా సమాచారంలో t యొక్క ఏదైనా సమాచారంలో సమానంగా ఉంటుంది.
x (t) ఏదైనా సమాచారంలో t యొక్క ఏదైనా సమాచారంలో సమానంగా ఉంటుంది, మరియు ఈ విచ్ఛిన్నతలు సమానంగా ఉంటాయి.
ధ్యానం చూసుకోండి, డిరిక్లెట్ షర్టులు ఫోరియర్ సమాచారం ప్రదర్శనకు సార్వత్రికంగా కానీ అవసరం కాని షర్టులు.