Фуриеова серија и Фуриеова трансформација

Понекогаш сите информации во временски домен не се доволни. Ова ни го прави да се преместиме во фреквенцијскиот домен на сигналот за да извлекуваме повеќе информации за сигналот. Ова поминување од еден домен во друг домен е познато како трансформација. За менување на доменот на сигналот од време во фреквенција имаме многу алатки. Фуриерова серија и Фуриерова трансформација се две од алатките со кои го декомпонираме сигналот во хармонично поврзани синусоиди. Со таква декомпозиција, сигналот се вели дека е претставен во фреквенцијскиот домен.
Најголемиот дел од практичните сигнали можат да се декомпонираат во синусоиди. Таква декомпозиција на периодични сигнали се нарекува Фуриерова серија.

Анализа на фреквенцијата

Слично на тоа како бела светлина може да се декомпонира на седум бои, периодичниот сигнал исто така може да се декомпонира на линеарна вешта сумата на хармонично поврзани фреквенции. Оваа линеарна вешта сумата на хармонично поврзани синусоиди или комплексни експоненти се нарекува Фуриерова серија или трансформација. Во општ случај, декомпозицијата на било кој сигнал во неговите компоненти поврзани со фреквенцијата се нарекува анализа на фреквенцијата. Анализата на светлината во бои е всушност форма на анализа на фреквенцијата, затоа Фуриеровата серија и Фуриеровата трансформација се исто така алатки за анализа на фреквенцијата.

Ова може да биде појасно од следното.
Претпоставете деко ако минеме светлина низ призма, таа се распаѓа на седум бои VIBGYOR. Секоја боја има одредена фреквенција или опсег на фреквенции. На исти начин, ако минеме периодичен сигнал низ Фуриеров алатка, кој игра улога на призма, сигналот се декомпонира во Фуриерова серија.

Аналогија на сигнали и вектори

N-димензионален вектор треба N димензии за својата претстава. Како мравец што се движи на маса потребни му се две димензии за претстава на неговата позиција на масата, односно x и y. Исто така, сме запознати со i, j, k координатен систем за претстава на вектор во три димензии. Овие единични вектори i, j и k се ортогонални еден на друг. На исти начин, ако третираме сигнал како многодимензионален вектор, ни требаат многу повеќе димензии кои се ортогонални една на друга. Тоа беше генијалноста на J. B. J. Фуриер кој измисли многу димензии, кои се ортогонални една на друга. Тие се синусоиди со хармонично поврзани синусоиди или комплексни експоненти. Размислете за димензиите (исто така наречени бази)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
Така, сите sinnω0t се ортогонални со Sinmω0t (n≠m) и затоа можеме да користиме sinω0t, sin2ω0t… ∞ како основни димензии (исто така наречени бази) за изразување на периодичен сигнал. Слично, исто така можеме да користиме cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ како дополнителни димензии кога sinω0t димензии не можат да се користат. Ще видиме дека само косинусни термини ќе бидат подобри за парни сигнали, а само синусни термини за непарни сигнали. За периодичен сигнал кој не е ни парен ни непарен, користиме и синусни и косинусни термини.

Забелешка
Само периодични сигнали можат да се претстават како Фуриерова серија, при услов дека сигналот ги следи условите на Дирихле. За непериодични сигнали, имаме алатка за Фуриерова трансформација која го трансформира сигналот од временски во фреквенцијски домен.
Резолуцијата на сигналот во неговите хармонично поврзани фреквенции се нарекува Фуриерова анализа, додека обратното, рециклирањето, се нарекува Фуриерова синтеза.

Услови на Дирихле

x (t) е апсолутно интеграбилен над секој период, тоа е,

x (t) има конечен број на максимуми и минимуми во секој конечен интервал на t.
x (t) има конечен број на прекинувања во секој конечен интервал на t, и секое од овие прекинувања се конечни.
Забележете дека условите на Дирихле се доволни, но не и потребни услови за претстава на Фуриерова серија.

Изјава: Поштетувајте оригиналот, добри статии заслужуваат да се споделат, ако има прекршување контактирајте за брисање.