फुरिअर श्रेणी ಮತ್ತು ಫುರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರ

ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಲಾನುಕ್ರಮ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಉள்ள ಎಲ್ಲ ಮಾಹಿತಿ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಅಲ್ಲ. ಇದು ನಮಗೆ ಚಿಹ್ನೆಯ ಆವೃತ್ತಿ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವುದನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಈ ಚಲನೆಯನ್ನು ರೂಪಾಂತರಿಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಕಾಲಾನುಕ್ರಮದಿಂದ ಆವೃತ್ತಿ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸಲು ನಮಗೆ ಹಲವಾರು ಸಾಧನಗಳಿವೆ. ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿ ಮತ್ತು ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್ ಎಂಬುದು ಈ ಸಾಧನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಂಬಂಧಿತ ಹರಾತ್ಮಕ ಸೈನ್‌ಸಿನ ಮೂಲಕ ವಿಘಟಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಘಟನೆಯಿಂದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಆವೃತ್ತಿ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ದೈನಂದಿನ ಪ್ರಯೋಜನಕ್ಕಾಗಿ ಉಪಯೋಗಿಸುವ ಅನೇಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಸೈನ್‌ಗಳಿಂದ ವಿಘಟಿಸಬಹುದು. ಈ ಆವರ್ತಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ವಿಘಟನೆಯನ್ನು ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆವೃತ್ತಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ

ಶ್ವೇತ ಪ್ರಕಾಶವನ್ನು ಸೆವೆನ್ ಬಣ್ಣಗಳಾಗಿ ವಿಘಟಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು, ಅದೇ ರೀತಿ ಆವರ್ತಕ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಂಬಂಧಿತ ಆವೃತ್ತಿಗಳ ಮೂಲಕ ವಿಘಟಿಸಬಹುದು. ಈ ಹರಾತ್ಮಕ ಸೈನ್‌ಗಳ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಏಕೆಕ್ಸ್‌ಪೋನೆಂಶಿಯಲ್‌ಗಳ ರೇಖೀಯ ತೂಕದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿ ಅಥವಾ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಆವೃತ್ತಿ ಸಂಬಂಧಿತ ಘಟಕಗಳ ಮೂಲಕ ವಿಘಟಿಸುವುದನ್ನು ಆವೃತ್ತಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಕಾಶದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಆವೃತ್ತಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ರೂಪವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿ ಮತ್ತು ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್ ಎಂಬುದು ಆವೃತ್ತಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಸಾಧನಗಳಾಗಿವೆ.

ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತಿಳಿಸಬಹುದು.
ನಾವು ಪ್ರಕಾಶವನ್ನು ಪ್ರಿಜ್ಮ ಮೂಲಕ ಪಾಸ್ ಮಾಡಿದರೆ, ಅದು ಸೆವೆನ್ ಬಣ್ಣಗಳಾಗಿ ವಿಘಟಿಸುತ್ತದೆ (VIBGYOR). ಪ್ರತಿ ಬಣ್ಣವು ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಆವೃತ್ತಿ ಅಥವಾ ಆವೃತ್ತಿಯ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅದೇ ರೀತಿ, ನಾವು ಯಾವುದೇ ಆವರ್ತಕ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಫೋರಿಯರ್ ಸಾಧನದ ಮೂಲಕ ಪಾಸ್ ಮಾಡಿದರೆ, ಅದು ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪ್ರದಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಫೋರಿಯರ್ ಸಾಧನವು ಪ್ರಿಜ್ಮದ ಪಾತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅನುಕರಣ

N ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ N ಆಯಾಮಗಳು ಆವಶ್ಯಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಆಂಟ್ ಟೇಬಲ್ ಮೇಲೆ ಚಲಿಸುವಂತೆ ಅದರ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು x ಮತ್ತು y ಎಂಬ ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳು ಆವಶ್ಯಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದೇ ರೀತಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು i, j, k ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಪದ್ಧತಿಯನ್ನು ನಾವು ತಿಳಿದಿರುತ್ತೇವೆ. ಈ ಇಕ್ಕೆ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು i, j ಮತ್ತು k ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದೇ ರೀತಿ, ನಾವು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಹು-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಗುರುತಿಸಿದರೆ, ಅದಕ್ಕೆ ಹಲವಾರು ಆಯಾಮಗಳು ಆವಶ್ಯಕವಾಗುತ್ತವೆ. ಇದು J. B. J. ಫೋರಿಯರ್ ನ ಮಹತ್ವದ ಕೊಡುಗೆಯಾಗಿದೆ, ಅವರು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾದ ಬಹು-ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಇವು ಹರಾತ್ಮಕ ಸೈನ್‌ಗಳು ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಏಕೆಕ್ಸ್‌ಪೋನೆಂಶಿಯಲ್‌ಗಳು. ಈ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು (ಅಥವಾ ಪ್ರಮುಖ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು) ನೋಡೋಣ
sinω₀t, sin2ω₀t, sin3ω₀t, sin4ω₀t, …….., sinnω₀t
cosω₀t, cos2ω₀t, cos3ω₀t, cos4ω₀t, …….., cosnω₀t
ಈ ರೀತಿ, ಎಲ್ಲ ಸೈನ್ nω₀t ಗಳು ಸೈನ್ mω₀t (n≠m) ಗಳಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಆದ್ದರಿಂದ ಸೈನ್ ω₀t, sin2ω₀t, … ∞ ಗಳನ್ನು ಮುಖ್ಯ ಆಯಾಮಗಳು (ಅಥವಾ ಪ್ರಮುಖ ಆಯಾಮಗಳು) ಎಂದು ಉಪಯೋಗಿಸಬಹುದು. ಅದೇ ರೀತಿ, ನಾವು ಕೊಸೈನ್ ω₀t, cos2ω₀t, cos3ω₀t, … ∞ ಗಳನ್ನು ಸೈನ್ ω₀t ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಯೋಜನವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಉಪಯೋಗಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಆವರ್ತಕ ಚಿಹ್ನೆ ಸಮನಾದ ಅಥವಾ ಅಸಮನಾದ ಎರಡೂ ಅಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ದೋಣಿಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನೋಟ
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಡಿರಿಕ್ಲೆಟ್ ಶರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪಾಲಿದ್ದರೆ, ಕೇವಲ ಆವರ್ತಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನೇ ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿಯನ್ನಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಆವರ್ತಕದ ಅಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಗೆ, ನಾವು ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್ ಸಾಧನವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಕಾಲಾನುಕ್ರಮದಿಂದ ಆವೃತ್ತಿ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ.
ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹರಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧಿತ ಆವೃತ್ತಿಗಳ ಮೂಲಕ ವಿಘಟಿಸುವುದನ್ನು ಫೋರಿಯರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಎಂದು ಮತ್ತು ತಿರುಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸುವುದನ್ನು ಫೋರಿಯರ್ ಸಂಯೋಜನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಡಿರಿಕ್ಲೆಟ್ ಶರತ್ತುಗಳು

x (t) ಯಾವುದೇ ಆವರ್ತಕ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಂಕಲನೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ,

x (t) ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ t ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ನಿಮ್ನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
x (t) ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ t ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನಂತರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಅವು ಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅನಂತರವು ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ನೋಟ್ ಡಿರಿಕ್ಲೆಟ್ ಶರತ್ತುಗಳು ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿಯ ಪ್ರತಿನಿಧಿತ್ವಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಆದರೆ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಪ್ರಕಾರ: ಮೂಲದ ಪ್ರತಿಯನ್ನು ಪ್ರಾಮಾಣಿಕವಾಗಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸಿ, ಉತ್ತಮ ಲೇಖನಗ