Sèrie de Fourier i Transformada de Fourier

A vegades, tota la informació al domini temporal no és suficient. Això ens obliga a moure'ns al domini de freqüència del senyal per extreure més informació sobre el senyal. Aquest canvi d'un domini a un altre es coneix com a transformació. Per canviar el domini del senyal del temps a la freqüència, tenim moltes eines. La Sèrie de Fourier i la Transformada de Fourier són dues d'aquestes eines amb les quals descomponem el senyal en sinusoides relacionats harmònics. Amb aquesta descomposició, es diu que el senyal està representat al domini de freqüència.
La majoria dels senyals pràctics es poden descompondre en sinusoides. Aquesta descomposició de senyals periòdics es coneix com a Sèrie de Fourier.

Anàlisi de Freqüència

De la mateixa manera que una llum blanca es pot descompondre en set colors, un senyal periòdic també es pot descompondre en una suma lineal ponderada de freqüències relacionades harmòniques. Aquesta suma lineal ponderada de sinusoides o exponencials complexos relacionats harmònics es coneix com a Sèrie de Fourier o Transformada de Fourier. En general, la descomposició de qualsevol senyal en els seus components de freqüència es coneix com a anàlisi de freqüència. Com l'anàlisi de la llum en colors és en realitat una forma d'anàlisi de freqüència, la Sèrie de Fourier i la Transformada de Fourier també són eines d'anàlisi de freqüència.

Això es pot entendre millor amb el següent.
Suposem que passem una llum a través d'un prisma, es divideix en set colors VIBGYOR. Cada color té una freqüència específica o un rang de freqüències. De la mateixa manera, si passem un senyal periòdic a través d'una eina de Fourier, que joca el paper de prisma, el senyal es descompon en una Sèrie de Fourier.

Analogia entre Senyals i Vectors

Un vector N-dimensional necessita N dimensions per a la seva representació. Com un formiguer que es mou sobre una taula necessita dues dimensions per a la representació de la seva posició a la taula, és a dir, x i y. També estem familiaritzats amb el sistema de coordenades i, j, k per a la representació d'un vector en tres dimensions. Aquests vectors unitaris i, j i k són ortogonals entre si. De la mateixa manera, si tractem un senyal com un vector multidimensional, necessitem moltes més dimensions que siguin ortogonals entre si. Va ser el geni de J. B. J. Fourier qui inventà aquestes dimensions multidimensionals, que són ortogonals entre si. Aquestes són sinusoides amb sinusoides relacionats harmònics o exponencials complexos. Considerem les dimensions (també anomenades bases)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
Així, tots els sinnω0t són ortogonals amb Sinmω0t (n≠m) i, per tant, podem utilitzar sinω0t, sin2ω0t… ∞ com a dimensions principals (també anomenades bases) per expressar un senyal periòdic. De la mateixa manera, també podem utilitzar cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ com a dimensions addicionals quan no es puguin utilitzar les dimensions sinω0t. Veurem que per als senyals parells només seran adequats els termes cosinus, i per als senyals imparells només els termes sinus. Per a un senyal periòdic ni parell ni imparell, utilitzem tant els termes sinus com cosinus.

NOTA
Només els senyals periòdics es poden representar com a Sèrie de Fourier, sempre que el senyal compleixi les condicions de Dirichlet. Per a senyals no periòdics, tenim l'eina de la Transformada de Fourier, que transforma el senyal del domini temporal al domini de freqüència.
La resolució del senyal en les seves freqüències relacionades harmòniques es coneix com Anàlisi de Fourier, mentre que la inversa, és a dir, la recombinació, es coneix com Síntesi de Fourier.

Condicions de Dirichlet

x (t) és absolutament integrable en qualsevol període, és a dir,

x (t) té un nombre finit de màxims i mínims en qualsevol interval finit de t.
x (t) té un nombre finit de discontinuïtats en qualsevol interval finit de t, i cada una d'aquestes discontinuïtats són finites.
Cal notar que les condicions de Dirichlet són condicions suficients però no necessàries per a la representació de la Sèrie de Fourier.

Declaració: Respecteu l'original, els bons articles meriten ser compartits, si hi ha infracció contacteu per eliminar.