סדרת פורייה וטרנספורמציה של פורייה

לפעמים כל המידע בדומיין הזמן אינו מספיק. הדבר מוביל אותנו לעבור לדומיין התדר של האות כדי להפיק מידע נוסף על האות. מעבר מאחד הדומיינים לשני הוא ידוע כטרנספורמציה. כדי לשנות את דומיין האות מזמן לתדר יש לנו כלים רבים. סדרת פורייה וטרנספורם פורייה הם שניים מהכלים בהם אנו מפרקים את האות לסינוסואידים קשורים הרמונית. עם הפירוק הזה, אומרים שהאות מיוצג בדומיין התדר.
רוב האותות הממשיים ניתנים לפירוק לסינוסואידים. פירוק כזה של אותות מחזוריים נקרא סדרת פורייה.

ניתוח תדרי

בדיוק כמו שאור לבן ניתן לפירוק לבערך שבעה צבעים, כך גם אות מחזורי ניתן לפירוק לסכום משוקלל של תדרים קשורים הרמונית. הסכום המשוקלל של סינוסואידים או אקספוננטים מרוכבים קשורים הרמונית ידוע כסדרת פורייה או טרנספורם פורייה. באופן כללי, פירוק כל אות לתדרים הקשורים בו נקרא ניתוח תדרי. כמו ניתוח אור לצבעים הוא למעשה סוג של ניתוח תדרי, כך גם סדרת פורייה וטרנספורם פורייה הם כלים של ניתוח תדרי.

זה יכול להיות ברור יותר מהבנוגע הבא.
אם נעביר אור דרך פריזמה, הוא מתפרק לשבעה צבעים VIBGYOR. לכל צבע יש תדר מסוים או טווח תדרים. באותו אופן, אם נעביר אות מחזורי דרך כלי פורייה, שמשחק תפקיד של פריזמה, האות מתפרק לסדרת פורייה.

אנלוגיה בין אותות ווקטורים

וקטור ממימד N דורש N מימדים לייצוגו. כמו נמלה שנעה על שולחן דורשת שני מימדים לייצוג מיקומה על השולחן, כלומר x ו-y. בנוסף אנחנו מכירים את מערכת הקואורדינטות i, j, k לייצוג וקטור בשלושה מימדים. וקטורי היחידה i, j ו-k הם אורתוגונליים אחד לשני. באותו אופן, אם נתייחס לאות כוקטור רב-ממדי, נצטרך הרבה יותר מימדים שהם אורתוגונליים אחד לשני. זה היה הגאונות של J. B. J. Fourier שהמציא מימדים מרובים, שהם אורתוגונליים אחד לשני. אלו הם סינוסואידים עם סינוסואידים קשורים הרמונית או אקספוננטים מרוכבים. рассмотрим размерности (также называемые базисами)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
Таким образом, все sinnω0t ортогональны с Sinmω0t (n≠m), и мы, следовательно, можем использовать sinω0t, sin2ω0t… ∞ в качестве основных размерностей (также называемых базисами) для выражения периодического сигнала. Аналогично, мы также можем использовать cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ как дополнительные размерности, когда размерности sinω0t не могут быть использованы. Мы увидим, что для четных сигналов подходят только косинусные члены, а для нечетных сигналов — только синусные члены. Для периодического сигнала, который ни четный, ни нечетный, мы используем как синусные, так и косинусные члены.

הערה
רק אותות מחזוריים יכולים להיות מיוצגים כסדרת פורייה בתנאי שהאות עונה לתנאי דיריכלה. עבור אותות לא מחזוריים, יש לנו כלי טרנספורם פורייה שמעביר את האות מדומיין הזמן לדומיין התדר.
פירוק האות לתדרים קשורים הרמונית ידוע כניתוח פורייה בעוד שההיפך, כלומר החיבור מחדש, ידוע כסינתזה פורייה.

תנאי דיריכלה

x (t) הוא אינטגרבילית בהחלט על כל תקופה, כלומר,

ל-x (t) יש מספר סופי של מקסימום ומינימום בתוך כל תחום סופי של t.
ל-x (t) יש מספר סופי של אי-רציפות בתוך כל תחום סופי של t, וכל אחת מהאי-רציפות הללו היא סופית.
שימו לב שהתנאים של דיריכלה הם תנאי מספיקים אך לא הכרחיים לייצוג באמצעות סדרת פורייה.

הצהרה: שמור על המקור, מאמרים טובים שראויים לחלוקה, במידה והתקיים הפרת זכויות יוצרים אנא צור קשר למחיקה.